Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2133 / 2161
↖ ↑ ↗
← S  9.882275°
E  7.470703°		 ← 9 627.98 m → S  9.882275°
E  7.558594°		 →
↑
9 626.77 m
↓
↑
9 626.77 m
↓
S  9.968851°
E  7.470703°		 ← 9 625.43 m →
92 674 131 m²		 S  9.968851°
E  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5208740234375 y=0.5277099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5208740234375 × 212)
    floor (0.5208740234375 × 4096)
    floor (2133.5)     		tx = 2133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5277099609375 × 212)
    floor (0.5277099609375 × 4096)
    floor (2161.5)     		ty = 2161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2133 / 2161 ti = "12/2133/2161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2133/2161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2133 ÷ 212
    2133 ÷ 4096     		x = 0.520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2161 ÷ 212
    2161 ÷ 4096     		y = 0.527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.173339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13038837} λ = 0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173339829026123))-π/2
    2×atan(0.840851820431504)-π/2
    2×0.699159040925139-π/2
    1.39831808185028-1.57079632675     		φ = -0.17247824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17247824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.882275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2133 KachelY 2161 0.13038837 -0.17247824 7.470703 -9.882275
    Oben rechts KachelX + 1 2134 KachelY 2161 0.13192235 -0.17247824 7.558594 -9.882275
    Unten links KachelX 2133 KachelY + 1 2162 0.13038837 -0.17398927 7.470703 -9.968851
    Unten rechts KachelX + 1 2134 KachelY + 1 2162 0.13192235 -0.17398927 7.558594 -9.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17247824--0.17398927) × R
    0.00151103 × 6371000     		dl = 9626.77212999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17247824--0.17398927) × R
    0.00151103 × 6371000     		dr = 9626.77212999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13038837-0.13192235) × cos(-0.17247824) × R
    0.00153397999999999 × 0.985162466305611 × 6371000     		do = 9627.97956232438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13038837-0.13192235) × cos(-0.17398927) × R
    0.00153397999999999 × 0.984902012206852 × 6371000     		du = 9625.4341479125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17247824)-sin(-0.17398927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985162466305611-0.984902012206852)×R²
    abs(0.13192235-0.13038837)×0.0002604540987593×R²
    0.00153397999999999×0.0002604540987593×6371000²
    0.00153397999999999×0.0002604540987593×40589641000000     		ar = 92674130.8894228m²