Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2133 / 1970
↖ ↑ ↗
← N 79.488638°
W133.132324°		 ← 445.73 m → N 79.488638°
W133.110351°		 →
↑
445.84 m
↓
↑
445.84 m
↓
N 79.484628°
W133.132324°		 ← 445.90 m →
198 762 m²		 N 79.484628°
W133.110351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130218505859375 y=0.120269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130218505859375 × 214)
    floor (0.130218505859375 × 16384)
    floor (2133.5)     		tx = 2133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120269775390625 × 214)
    floor (0.120269775390625 × 16384)
    floor (1970.5)     		ty = 1970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2133 / 1970 ti = "14/2133/1970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2133/1970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2133 ÷ 214
    2133 ÷ 16384     		x = 0.13018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1970 ÷ 214
    1970 ÷ 16384     		y = 0.1202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.7396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32359740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1202392578125 × 2 - 1) × π
    0.759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38610711548792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32359740} λ = -2.32359740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38610711548792))-π/2
    2×atan(10.8710915588398)-π/2
    2×1.47906738795783-π/2
    2.95813477591566-1.57079632675     		φ = 1.38733845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32359740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.132324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38733845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.488638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2133 KachelY 1970 -2.32359740 1.38733845 -133.132324 79.488638
    Oben rechts KachelX + 1 2134 KachelY 1970 -2.32321390 1.38733845 -133.110351 79.488638
    Unten links KachelX 2133 KachelY + 1 1971 -2.32359740 1.38726847 -133.132324 79.484628
    Unten rechts KachelX + 1 2134 KachelY + 1 1971 -2.32321390 1.38726847 -133.110351 79.484628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38733845-1.38726847) × R
    6.9979999999914e-05 × 6371000     		dl = 445.842579999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38733845-1.38726847) × R
    6.9979999999914e-05 × 6371000     		dr = 445.842579999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32359740--2.32321390) × cos(1.38733845) × R
    0.000383500000000314 × 0.182430506601982 × 6371000     		do = 445.728534525095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32359740--2.32321390) × cos(1.38726847) × R
    0.000383500000000314 × 0.182499311803348 × 6371000     		du = 445.896644794281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38733845)-sin(1.38726847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182430506601982-0.182499311803348)×R²
    abs(-2.32321390--2.32359740)×6.88052013661511e-05×R²
    0.000383500000000314×6.88052013661511e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.88052013661511e-05×40589641000000     		ar = 198762.23525127m²