Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21329 / 13171
↖ ↑ ↗
← N 80.709763°
W121.418152°		 ← 49.31 m → N 80.709763°
W121.415405°		 →
↑
49.31 m
↓
↑
49.31 m
↓
N 80.709319°
W121.418152°		 ← 49.31 m →
2 431 m²		 N 80.709319°
W121.415405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162731170654297 y=0.100490570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162731170654297 × 217)
    floor (0.162731170654297 × 131072)
    floor (21329.5)     		tx = 21329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100490570068359 × 217)
    floor (0.100490570068359 × 131072)
    floor (13171.5)     		ty = 13171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21329 / 13171 ti = "17/21329/13171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21329/13171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21329 ÷ 217
    21329 ÷ 131072     		x = 0.162727355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13171 ÷ 217
    13171 ÷ 131072     		y = 0.100486755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162727355957031 × 2 - 1) × π
    -0.674545288085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.11914652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100486755371094 × 2 - 1) × π
    0.799026489257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.51021574860424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11914652} λ = -2.11914652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51021574860424))-π/2
    2×atan(12.3075851183985)-π/2
    2×1.48972371126757-π/2
    2.97944742253514-1.57079632675     		φ = 1.40865110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11914652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.418152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40865110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.709763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21329 KachelY 13171 -2.11914652 1.40865110 -121.418152 80.709763
    Oben rechts KachelX + 1 21330 KachelY 13171 -2.11909858 1.40865110 -121.415405 80.709763
    Unten links KachelX 21329 KachelY + 1 13172 -2.11914652 1.40864336 -121.418152 80.709319
    Unten rechts KachelX + 1 21330 KachelY + 1 13172 -2.11909858 1.40864336 -121.415405 80.709319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40865110-1.40864336) × R
    7.74000000003383e-06 × 6371000     		dl = 49.3115400002155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40865110-1.40864336) × R
    7.74000000003383e-06 × 6371000     		dr = 49.3115400002155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11914652--2.11909858) × cos(1.40865110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161435664819931 × 6371000     		do = 49.3066073899871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11914652--2.11909858) × cos(1.40864336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16144330329136 × 6371000     		du = 49.3089403757758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40865110)-sin(1.40864336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161435664819931-0.16144330329136)×R²
    abs(-2.11909858--2.11914652)×7.63847142912222e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.63847142912222e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.63847142912222e-06×40589641000000     		ar = 2431.44226421193m²