Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21328 / 11632
↖ ↑ ↗
← N 81.367886°
W121.420899°		 ← 45.84 m → N 81.367886°
W121.418152°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
N 81.367473°
W121.420899°		 ← 45.84 m →
2 103 m²		 N 81.367473°
W121.418152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162723541259766 y=0.0887489318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162723541259766 × 217)
    floor (0.162723541259766 × 131072)
    floor (21328.5)     		tx = 21328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0887489318847656 × 217)
    floor (0.0887489318847656 × 131072)
    floor (11632.5)     		ty = 11632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21328 / 11632 ti = "17/21328/11632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21328/11632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21328 ÷ 217
    21328 ÷ 131072     		x = 0.1627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11632 ÷ 217
    11632 ÷ 131072     		y = 0.0887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.674560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11919446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0887451171875 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58399063711951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11919446} λ = -2.11919446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58399063711951))-π/2
    2×atan(13.2499083724232)-π/2
    2×1.49546691701034-π/2
    2.99093383402068-1.57079632675     		φ = 1.42013751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11919446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.420899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42013751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.367886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21328 KachelY 11632 -2.11919446 1.42013751 -121.420899 81.367886
    Oben rechts KachelX + 1 21329 KachelY 11632 -2.11914652 1.42013751 -121.418152 81.367886
    Unten links KachelX 21328 KachelY + 1 11633 -2.11919446 1.42013031 -121.420899 81.367473
    Unten rechts KachelX + 1 21329 KachelY + 1 11633 -2.11914652 1.42013031 -121.418152 81.367473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42013751-1.42013031) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42013751-1.42013031) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11919446--2.11914652) × cos(1.42013751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150089518987898 × 6371000     		do = 45.8412024030927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11919446--2.11914652) × cos(1.42013031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150096637425367 × 6371000     		du = 45.8433765571242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42013751)-sin(1.42013031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150089518987898-0.150096637425367)×R²
    abs(-2.11914652--2.11919446)×7.11843746886709e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11843746886709e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11843746886709e-06×40589641000000     		ar = 2102.84082907361m²