Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21324 / 24180
↖ ↑ ↗
← S 64.717880°
E 54.272461°		 ← 521.71 m → S 64.717880°
E 54.283447°		 →
↑
521.66 m
↓
↑
521.66 m
↓
S 64.722571°
E 54.272461°		 ← 521.61 m →
272 128 m²		 S 64.722571°
E 54.283447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650772094726562 y=0.737930297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650772094726562 × 215)
    floor (0.650772094726562 × 32768)
    floor (21324.5)     		tx = 21324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737930297851562 × 215)
    floor (0.737930297851562 × 32768)
    floor (24180.5)     		ty = 24180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21324 / 24180 ti = "15/21324/24180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21324/24180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21324 ÷ 215
    21324 ÷ 32768     		x = 0.6507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24180 ÷ 215
    24180 ÷ 32768     		y = 0.7379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6507568359375 × 2 - 1) × π
    0.301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94723314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49486427775183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94723314} λ = 0.94723314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49486427775183))-π/2
    2×atan(0.2242790423208)-π/2
    2×0.220628118589708-π/2
    0.441256237179417-1.57079632675     		φ = -1.12954009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94723314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12954009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.717880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21324 KachelY 24180 0.94723314 -1.12954009 54.272461 -64.717880
    Oben rechts KachelX + 1 21325 KachelY 24180 0.94742488 -1.12954009 54.283447 -64.717880
    Unten links KachelX 21324 KachelY + 1 24181 0.94723314 -1.12962197 54.272461 -64.722571
    Unten rechts KachelX + 1 21325 KachelY + 1 24181 0.94742488 -1.12962197 54.283447 -64.722571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12954009--1.12962197) × R
    8.18799999999786e-05 × 6371000     		dl = 521.657479999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12954009--1.12962197) × R
    8.18799999999786e-05 × 6371000     		dr = 521.657479999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94723314-0.94742488) × cos(-1.12954009) × R
    0.000191739999999996 × 0.427075711002566 × 6371000     		do = 521.705242288832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94723314-0.94742488) × cos(-1.12962197) × R
    0.000191739999999996 × 0.427001672375697 × 6371000     		du = 521.614798513233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12954009)-sin(-1.12962197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427075711002566-0.427001672375697)×R²
    abs(0.94742488-0.94723314)×7.40386268693327e-05×R²
    0.000191739999999996×7.40386268693327e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.40386268693327e-05×40589641000000     		ar = 272127.851811202m²