Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21323 / 24181
↖ ↑ ↗
← S 64.722571°
E 54.261475°		 ← 521.64 m → S 64.722571°
E 54.272461°		 →
↑
521.59 m
↓
↑
521.59 m
↓
S 64.727262°
E 54.261475°		 ← 521.55 m →
272 062 m²		 S 64.727262°
E 54.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650741577148438 y=0.737960815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650741577148438 × 215)
    floor (0.650741577148438 × 32768)
    floor (21323.5)     		tx = 21323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737960815429688 × 215)
    floor (0.737960815429688 × 32768)
    floor (24181.5)     		ty = 24181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21323 / 24181 ti = "15/21323/24181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21323/24181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21323 ÷ 215
    21323 ÷ 32768     		x = 0.650726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24181 ÷ 215
    24181 ÷ 32768     		y = 0.737945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650726318359375 × 2 - 1) × π
    0.30145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94704139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.47589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49505602535031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94704139} λ = 0.94704139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49505602535031))-π/2
    2×atan(0.224236041475832)-π/2
    2×0.220587176768118-π/2
    0.441174353536236-1.57079632675     		φ = -1.12962197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94704139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12962197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.722571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21323 KachelY 24181 0.94704139 -1.12962197 54.261475 -64.722571
    Oben rechts KachelX + 1 21324 KachelY 24181 0.94723314 -1.12962197 54.272461 -64.722571
    Unten links KachelX 21323 KachelY + 1 24182 0.94704139 -1.12970384 54.261475 -64.727262
    Unten rechts KachelX + 1 21324 KachelY + 1 24182 0.94723314 -1.12970384 54.272461 -64.727262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12962197--1.12970384) × R
    8.18699999998174e-05 × 6371000     		dl = 521.593769998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12962197--1.12970384) × R
    8.18699999998174e-05 × 6371000     		dr = 521.593769998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94704139-0.94723314) × cos(-1.12962197) × R
    0.000191750000000046 × 0.427001672375697 × 6371000     		do = 521.642002789917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94704139-0.94723314) × cos(-1.12970384) × R
    0.000191750000000046 × 0.426927639928923 × 6371000     		du = 521.551561847165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12962197)-sin(-1.12970384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427001672375697-0.426927639928923)×R²
    abs(0.94723314-0.94704139)×7.40324467733422e-05×R²
    0.000191750000000046×7.40324467733422e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.40324467733422e-05×40589641000000     		ar = 272061.63226078m²