Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21322 / 24178
↖ ↑ ↗
← S 64.708494°
E 54.250488°		 ← 521.91 m → S 64.708494°
E 54.261475°		 →
↑
521.85 m
↓
↑
521.85 m
↓
S 64.713187°
E 54.250488°		 ← 521.82 m →
272 336 m²		 S 64.713187°
E 54.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650711059570312 y=0.737869262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650711059570312 × 215)
    floor (0.650711059570312 × 32768)
    floor (21322.5)     		tx = 21322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737869262695312 × 215)
    floor (0.737869262695312 × 32768)
    floor (24178.5)     		ty = 24178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21322 / 24178 ti = "15/21322/24178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21322/24178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21322 ÷ 215
    21322 ÷ 32768     		x = 0.65069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24178 ÷ 215
    24178 ÷ 32768     		y = 0.73785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65069580078125 × 2 - 1) × π
    0.3013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.94684964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.4757080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49448078255487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94684964} λ = 0.94684964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49448078255487))-π/2
    2×atan(0.224365068750616)-π/2
    2×0.220710023531321-π/2
    0.441420047062642-1.57079632675     		φ = -1.12937628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94684964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12937628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.708494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21322 KachelY 24178 0.94684964 -1.12937628 54.250488 -64.708494
    Oben rechts KachelX + 1 21323 KachelY 24178 0.94704139 -1.12937628 54.261475 -64.708494
    Unten links KachelX 21322 KachelY + 1 24179 0.94684964 -1.12945819 54.250488 -64.713187
    Unten rechts KachelX + 1 21323 KachelY + 1 24179 0.94704139 -1.12945819 54.261475 -64.713187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12937628--1.12945819) × R
    8.19100000000184e-05 × 6371000     		dl = 521.848610000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12937628--1.12945819) × R
    8.19100000000184e-05 × 6371000     		dr = 521.848610000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94684964-0.94704139) × cos(-1.12937628) × R
    0.000191749999999935 × 0.427223824873329 × 6371000     		do = 521.913393000208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94684964-0.94704139) × cos(-1.12945819) × R
    0.000191749999999935 × 0.427149764849795 × 6371000     		du = 521.822918368603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12937628)-sin(-1.12945819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427223824873329-0.427149764849795)×R²
    abs(0.94704139-0.94684964)×7.40600235338285e-05×R²
    0.000191749999999935×7.40600235338285e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.40600235338285e-05×40589641000000     		ar = 272336.17179979m²