Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21319 / 45913
↖ ↑ ↗
← S 58.335451°
W 62.891235°		 ← 320.66 m → S 58.335451°
W 62.885742°		 →
↑
320.59 m
↓
↑
320.59 m
↓
S 58.338334°
W 62.891235°		 ← 320.64 m →
102 797 m²		 S 58.338334°
W 62.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.325309753417969 y=0.700584411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.325309753417969 × 216)
    floor (0.325309753417969 × 65536)
    floor (21319.5)     		tx = 21319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700584411621094 × 216)
    floor (0.700584411621094 × 65536)
    floor (45913.5)     		ty = 45913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21319 / 45913 ti = "16/21319/45913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21319/45913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21319 ÷ 216
    21319 ÷ 65536     		x = 0.325302124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45913 ÷ 216
    45913 ÷ 65536     		y = 0.700576782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.325302124023438 × 2 - 1) × π
    -0.349395751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.09765913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700576782226562 × 2 - 1) × π
    -0.401153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.26026109101128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.09765913} λ = -1.09765913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26026109101128))-π/2
    2×atan(0.283579976650435)-π/2
    2×0.276325319341775-π/2
    0.552650638683549-1.57079632675     		φ = -1.01814569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.09765913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.891235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01814569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.335451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21319 KachelY 45913 -1.09765913 -1.01814569 -62.891235 -58.335451
    Oben rechts KachelX + 1 21320 KachelY 45913 -1.09756325 -1.01814569 -62.885742 -58.335451
    Unten links KachelX 21319 KachelY + 1 45914 -1.09765913 -1.01819601 -62.891235 -58.338334
    Unten rechts KachelX + 1 21320 KachelY + 1 45914 -1.09756325 -1.01819601 -62.885742 -58.338334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01814569--1.01819601) × R
    5.03199999999371e-05 × 6371000     		dl = 320.588719999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01814569--1.01819601) × R
    5.03199999999371e-05 × 6371000     		dr = 320.588719999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.09765913--1.09756325) × cos(-1.01814569) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.524945122984681 × 6371000     		do = 320.663505293764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.09765913--1.09756325) × cos(-1.01819601) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.524902293152807 × 6371000     		du = 320.637342627576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01814569)-sin(-1.01819601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524945122984681-0.524902293152807)×R²
    abs(-1.09756325--1.09765913)×4.28298318740916e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.28298318740916e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.28298318740916e-05×40589641000000     		ar = 102796.909006651m²