Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21311 / 13118
↖ ↑ ↗
← N 80.733233°
W121.467591°		 ← 49.18 m → N 80.733233°
W121.464844°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
N 80.732791°
W121.467591°		 ← 49.19 m →
2 419 m²		 N 80.732791°
W121.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162593841552734 y=0.100086212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162593841552734 × 217)
    floor (0.162593841552734 × 131072)
    floor (21311.5)     		tx = 21311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100086212158203 × 217)
    floor (0.100086212158203 × 131072)
    floor (13118.5)     		ty = 13118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21311 / 13118 ti = "17/21311/13118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21311/13118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21311 ÷ 217
    21311 ÷ 131072     		x = 0.162590026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13118 ÷ 217
    13118 ÷ 131072     		y = 0.100082397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162590026855469 × 2 - 1) × π
    -0.674819946289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.12000939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100082397460938 × 2 - 1) × π
    0.799835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5127564042841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12000939} λ = -2.12000939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5127564042841))-π/2
    2×atan(12.3388942104046)-π/2
    2×1.48992853060436-π/2
    2.97985706120872-1.57079632675     		φ = 1.40906073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12000939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.467591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40906073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.733233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21311 KachelY 13118 -2.12000939 1.40906073 -121.467591 80.733233
    Oben rechts KachelX + 1 21312 KachelY 13118 -2.11996145 1.40906073 -121.464844 80.733233
    Unten links KachelX 21311 KachelY + 1 13119 -2.12000939 1.40905301 -121.467591 80.732791
    Unten rechts KachelX + 1 21312 KachelY + 1 13119 -2.11996145 1.40905301 -121.464844 80.732791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40906073-1.40905301) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40906073-1.40905301) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12000939--2.11996145) × cos(1.40906073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161031394306125 × 6371000     		do = 49.1831327691477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12000939--2.11996145) × cos(1.40905301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161039013549802 × 6371000     		du = 49.1854598822861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40906073)-sin(1.40905301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161031394306125-0.161039013549802)×R²
    abs(-2.11996145--2.12000939)×7.61924367709277e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61924367709277e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61924367709277e-06×40589641000000     		ar = 2419.08633255854m²