Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21305 / 37977
↖ ↑ ↗
← N 60.118250°
W121.484070°		 ← 152.17 m → N 60.118250°
W121.481323°		 →
↑
152.14 m
↓
↑
152.14 m
↓
N 60.116882°
W121.484070°		 ← 152.17 m →
23 151 m²		 N 60.116882°
W121.481323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162548065185547 y=0.289745330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162548065185547 × 217)
    floor (0.162548065185547 × 131072)
    floor (21305.5)     		tx = 21305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289745330810547 × 217)
    floor (0.289745330810547 × 131072)
    floor (37977.5)     		ty = 37977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21305 / 37977 ti = "17/21305/37977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21305/37977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21305 ÷ 217
    21305 ÷ 131072     		x = 0.162544250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37977 ÷ 217
    37977 ÷ 131072     		y = 0.289741516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162544250488281 × 2 - 1) × π
    -0.674911499023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.12029701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289741516113281 × 2 - 1) × π
    0.420516967773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.32109301662913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12029701} λ = -2.12029701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32109301662913))-π/2
    2×atan(3.7475152359963)-π/2
    2×1.31002886935189-π/2
    2.62005773870378-1.57079632675     		φ = 1.04926141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12029701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.484070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04926141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.118250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21305 KachelY 37977 -2.12029701 1.04926141 -121.484070 60.118250
    Oben rechts KachelX + 1 21306 KachelY 37977 -2.12024907 1.04926141 -121.481323 60.118250
    Unten links KachelX 21305 KachelY + 1 37978 -2.12029701 1.04923753 -121.484070 60.116882
    Unten rechts KachelX + 1 21306 KachelY + 1 37978 -2.12024907 1.04923753 -121.481323 60.116882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04926141-1.04923753) × R
    2.38799999998651e-05 × 6371000     		dl = 152.139479999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04926141-1.04923753) × R
    2.38799999998651e-05 × 6371000     		dr = 152.139479999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12029701--2.12024907) × cos(1.04926141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.498211582237394 × 6371000     		do = 152.166641181327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12029701--2.12024907) × cos(1.04923753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.498232287380392 × 6371000     		du = 152.172965064949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04926141)-sin(1.04923753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498211582237394-0.498232287380392)×R²
    abs(-2.12024907--2.12029701)×2.07051429984006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07051429984006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07051429984006e-05×40589641000000     		ar = 23151.034719945m²