Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21305 / 24263
↖ ↑ ↗
← S 65.104524°
E 54.063721°		 ← 514.27 m → S 65.104524°
E 54.074707°		 →
↑
514.20 m
↓
↑
514.20 m
↓
S 65.109148°
E 54.063721°		 ← 514.18 m →
264 415 m²		 S 65.109148°
E 54.074707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650192260742188 y=0.740463256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650192260742188 × 215)
    floor (0.650192260742188 × 32768)
    floor (21305.5)     		tx = 21305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740463256835938 × 215)
    floor (0.740463256835938 × 32768)
    floor (24263.5)     		ty = 24263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21305 / 24263 ti = "15/21305/24263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21305/24263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21305 ÷ 215
    21305 ÷ 32768     		x = 0.650177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24263 ÷ 215
    24263 ÷ 32768     		y = 0.740447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650177001953125 × 2 - 1) × π
    0.30035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.94358993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.48089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51077932842569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94358993} λ = 0.94358993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51077932842569))-π/2
    2×atan(0.220737883601759)-π/2
    2×0.217254014670549-π/2
    0.434508029341097-1.57079632675     		φ = -1.13628830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94358993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13628830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.104524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21305 KachelY 24263 0.94358993 -1.13628830 54.063721 -65.104524
    Oben rechts KachelX + 1 21306 KachelY 24263 0.94378168 -1.13628830 54.074707 -65.104524
    Unten links KachelX 21305 KachelY + 1 24264 0.94358993 -1.13636901 54.063721 -65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 21306 KachelY + 1 24264 0.94378168 -1.13636901 54.074707 -65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13628830--1.13636901) × R
    8.07099999999839e-05 × 6371000     		dl = 514.203409999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13628830--1.13636901) × R
    8.07099999999839e-05 × 6371000     		dr = 514.203409999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94358993-0.94378168) × cos(-1.13628830) × R
    0.000191749999999935 × 0.420964194624736 × 6371000     		do = 514.266382998043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94358993-0.94378168) × cos(-1.13636901) × R
    0.000191749999999935 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 514.176944862896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13628830)-sin(-1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420964194624736-0.420890983048449)×R²
    abs(0.94378168-0.94358993)×7.32115762874241e-05×R²
    0.000191749999999935×7.32115762874241e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.32115762874241e-05×40589641000000     		ar = 264414.533232116m²