Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21304 / 45848
↖ ↑ ↗
← S 58.147519°
W 62.973633°		 ← 322.33 m → S 58.147519°
W 62.968140°		 →
↑
322.37 m
↓
↑
322.37 m
↓
S 58.150418°
W 62.973633°		 ← 322.31 m →
103 907 m²		 S 58.150418°
W 62.968140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.325080871582031 y=0.699592590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.325080871582031 × 216)
    floor (0.325080871582031 × 65536)
    floor (21304.5)     		tx = 21304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699592590332031 × 216)
    floor (0.699592590332031 × 65536)
    floor (45848.5)     		ty = 45848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21304 / 45848 ti = "16/21304/45848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21304/45848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21304 ÷ 216
    21304 ÷ 65536     		x = 0.3250732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45848 ÷ 216
    45848 ÷ 65536     		y = 0.6995849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.09909723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6995849609375 × 2 - 1) × π
    -0.399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25402929406067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.09909723} λ = -1.09909723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25402929406067))-π/2
    2×atan(0.285352707396166)-π/2
    2×0.277965337697669-π/2
    0.555930675395337-1.57079632675     		φ = -1.01486565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.09909723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01486565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.147519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21304 KachelY 45848 -1.09909723 -1.01486565 -62.973633 -58.147519
    Oben rechts KachelX + 1 21305 KachelY 45848 -1.09900136 -1.01486565 -62.968140 -58.147519
    Unten links KachelX 21304 KachelY + 1 45849 -1.09909723 -1.01491625 -62.973633 -58.150418
    Unten rechts KachelX + 1 21305 KachelY + 1 45849 -1.09900136 -1.01491625 -62.968140 -58.150418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01486565--1.01491625) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dl = 322.372600000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01486565--1.01491625) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dr = 322.372600000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.09909723--1.09900136) × cos(-1.01486565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527734054498444 × 6371000     		do = 322.333506300156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.09909723--1.09900136) × cos(-1.01491625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527691073694155 × 6371000     		du = 322.307254150551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01486565)-sin(-1.01491625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527734054498444-0.527691073694155)×R²
    abs(-1.09900136--1.09909723)×4.29808042894386e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29808042894386e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29808042894386e-05×40589641000000     		ar = 103907.259028395m²