Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 21303 / 45850
↖ ↑ ↗
← S 58.153316°
W 62.979126°		 ← 322.31 m → S 58.153316°
W 62.973633°		 →
↑
322.31 m
↓
↑
322.31 m
↓
S 58.156214°
W 62.979126°		 ← 322.29 m →
103 881 m²		 S 58.156214°
W 62.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.325065612792969 y=0.699623107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.325065612792969 × 216)
    floor (0.325065612792969 × 65536)
    floor (21303.5)     		tx = 21303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699623107910156 × 216)
    floor (0.699623107910156 × 65536)
    floor (45850.5)     		ty = 45850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21303 / 45850 ti = "16/21303/45850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21303/45850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21303 ÷ 216
    21303 ÷ 65536     		x = 0.325057983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45850 ÷ 216
    45850 ÷ 65536     		y = 0.699615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.325057983398438 × 2 - 1) × π
    -0.349884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.09919311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.39923095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25422104165915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.09919311} λ = -1.09919311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25422104165915))-π/2
    2×atan(0.28529799694527)-π/2
    2×0.277914745949184-π/2
    0.555829491898368-1.57079632675     		φ = -1.01496683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.09919311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.979126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01496683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.153316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21303 KachelY 45850 -1.09919311 -1.01496683 -62.979126 -58.153316
    Oben rechts KachelX + 1 21304 KachelY 45850 -1.09909723 -1.01496683 -62.973633 -58.153316
    Unten links KachelX 21303 KachelY + 1 45851 -1.09919311 -1.01501742 -62.979126 -58.156214
    Unten rechts KachelX + 1 21304 KachelY + 1 45851 -1.09909723 -1.01501742 -62.973633 -58.156214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01496683--1.01501742) × R
    5.05899999998505e-05 × 6371000     		dl = 322.308889999047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01496683--1.01501742) × R
    5.05899999998505e-05 × 6371000     		dr = 322.308889999047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.09919311--1.09909723) × cos(-1.01496683) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.527648108528047 × 6371000     		do = 322.314628014093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.09919311--1.09909723) × cos(-1.01501742) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.527605133517141 × 6371000     		du = 322.288376665078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01496683)-sin(-1.01501742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527648108528047-0.527605133517141)×R²
    abs(-1.09909723--1.09919311)×4.297501090611e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.297501090611e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.297501090611e-05×40589641000000     		ar = 103880.639486298m²