Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 213 / 54
↖ ↑ ↗
← N 80.415708°
W 30.234375°		 ← 13.018 km → N 80.415708°
W 29.531250°		 →
↑
13.097 km
↓
↑
13.097 km
↓
N 80.297927°
W 30.234375°		 ← 13.176 km →
171.523 km²		 N 80.297927°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4169921875 y=0.1064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4169921875 × 29)
    floor (0.4169921875 × 512)
    floor (213.5)     		tx = 213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1064453125 × 29)
    floor (0.1064453125 × 512)
    floor (54.5)     		ty = 54
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 213 / 54 ti = "9/213/54"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/213/54.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 213 ÷ 29
    213 ÷ 512     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54 ÷ 29
    54 ÷ 512     		y = 0.10546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10546875 × 2 - 1) × π
    0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47891295315234))-π/2
    2×atan(11.9282907567729)-π/2
    2×1.48715759600613-π/2
    2.97431519201227-1.57079632675     		φ = 1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 213 KachelY 54 -0.52768939 1.40351887 -30.234375 80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 214 KachelY 54 -0.51541754 1.40351887 -29.531250 80.415708
    Unten links KachelX 213 KachelY + 1 55 -0.52768939 1.40146321 -30.234375 80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 214 KachelY + 1 55 -0.51541754 1.40146321 -29.531250 80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40351887-1.40146321) × R
    0.00205566000000013 × 6371000     		dl = 13096.6098600008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40351887-1.40146321) × R
    0.00205566000000013 × 6371000     		dr = 13096.6098600008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.51541754) × cos(1.40351887) × R
    0.0122718500000001 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 13017.5058475673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.51541754) × cos(1.40146321) × R
    0.0122718500000001 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 13175.9544937527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40351887)-sin(1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.168525041566953)×R²
    abs(-0.51541754--0.52768939)×0.00202661330511489×R²
    0.0122718500000001×0.00202661330511489×6371000²
    0.0122718500000001×0.00202661330511489×40589641000000     		ar = 171522825.887706m²