Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 213 / 244
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
W142.558594°		 ← 3 541.66 m → N 79.560546°
W142.382813°		 →
↑
3 547.05 m
↓
↑
3 547.05 m
↓
N 79.528647°
W142.558594°		 ← 3 552.36 m →
12 581 439 m²		 N 79.528647°
W142.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104248046875 y=0.119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104248046875 × 211)
    floor (0.104248046875 × 2048)
    floor (213.5)     		tx = 213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119384765625 × 211)
    floor (0.119384765625 × 2048)
    floor (244.5)     		ty = 244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 213 / 244 ti = "11/213/244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/213/244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 213 ÷ 211
    213 ÷ 2048     		x = 0.10400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 244 ÷ 211
    244 ÷ 2048     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10400390625 × 2 - 1) × π
    -0.7919921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.48811684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48811684} λ = -2.48811684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48811684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 213 KachelY 244 -2.48811684 1.38859349 -142.558594 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 214 KachelY 244 -2.48504888 1.38859349 -142.382813 79.560546
    Unten links KachelX 213 KachelY + 1 245 -2.48811684 1.38803674 -142.558594 79.528647
    Unten rechts KachelX + 1 214 KachelY + 1 245 -2.48504888 1.38803674 -142.382813 79.528647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38803674) × R
    0.000556750000000106 × 6371000     		dl = 3547.05425000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38803674) × R
    0.000556750000000106 × 6371000     		dr = 3547.05425000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48811684--2.48504888) × cos(1.38859349) × R
    0.00306796000000009 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 3541.65966598666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48811684--2.48504888) × cos(1.38803674) × R
    0.00306796000000009 × 0.181743890359503 × 6371000     		du = 3552.36120296093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38803674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.181743890359503)×R²
    abs(-2.48504888--2.48811684)×0.000547505968962081×R²
    0.00306796000000009×0.000547505968962081×6371000²
    0.00306796000000009×0.000547505968962081×40589641000000     		ar = 12581438.761394m²