Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21298 / 24274
↖ ↑ ↗
← S 65.155349°
E 53.986816°		 ← 513.28 m → S 65.155349°
E 53.997803°		 →
↑
513.18 m
↓
↑
513.18 m
↓
S 65.159964°
E 53.986816°		 ← 513.19 m →
263 386 m²		 S 65.159964°
E 53.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649978637695312 y=0.740798950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649978637695312 × 215)
    floor (0.649978637695312 × 32768)
    floor (21298.5)     		tx = 21298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740798950195312 × 215)
    floor (0.740798950195312 × 32768)
    floor (24274.5)     		ty = 24274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21298 / 24274 ti = "15/21298/24274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21298/24274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21298 ÷ 215
    21298 ÷ 32768     		x = 0.64996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24274 ÷ 215
    24274 ÷ 32768     		y = 0.74078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64996337890625 × 2 - 1) × π
    0.2999267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94224770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94224770} λ = 0.94224770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51288855200897))-π/2
    2×atan(0.220272788718917)-π/2
    2×0.216810485344672-π/2
    0.433620970689344-1.57079632675     		φ = -1.13717536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94224770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.986816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13717536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.155349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21298 KachelY 24274 0.94224770 -1.13717536 53.986816 -65.155349
    Oben rechts KachelX + 1 21299 KachelY 24274 0.94243945 -1.13717536 53.997803 -65.155349
    Unten links KachelX 21298 KachelY + 1 24275 0.94224770 -1.13725591 53.986816 -65.159964
    Unten rechts KachelX + 1 21299 KachelY + 1 24275 0.94243945 -1.13725591 53.997803 -65.159964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13717536--1.13725591) × R
    8.0549999999846e-05 × 6371000     		dl = 513.184049999019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13717536--1.13725591) × R
    8.0549999999846e-05 × 6371000     		dr = 513.184049999019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94224770-0.94243945) × cos(-1.13717536) × R
    0.000191749999999935 × 0.420159397157108 × 6371000     		do = 513.283210823287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94224770-0.94243945) × cos(-1.13725591) × R
    0.000191749999999935 × 0.420086300670952 × 6371000     		du = 513.193913286762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13717536)-sin(-1.13725591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420159397157108-0.420086300670952)×R²
    abs(0.94243945-0.94224770)×7.30964861559436e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30964861559436e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30964861559436e-05×40589641000000     		ar = 263385.844033761m²