Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21296 / 11601
↖ ↑ ↗
← N 81.380655°
W121.508789°		 ← 45.77 m → N 81.380655°
W121.506042°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
N 81.380244°
W121.508789°		 ← 45.78 m →
2 094 m²		 N 81.380244°
W121.506042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162479400634766 y=0.0885124206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162479400634766 × 217)
    floor (0.162479400634766 × 131072)
    floor (21296.5)     		tx = 21296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885124206542969 × 217)
    floor (0.0885124206542969 × 131072)
    floor (11601.5)     		ty = 11601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21296 / 11601 ti = "17/21296/11601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21296/11601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21296 ÷ 217
    21296 ÷ 131072     		x = 0.1624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11601 ÷ 217
    11601 ÷ 131072     		y = 0.0885086059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12072844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885086059570312 × 2 - 1) × π
    0.822982788085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.58547668100773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12072844} λ = -2.12072844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58547668100773))-π/2
    2×atan(13.2696129550907)-π/2
    2×1.49557835493471-π/2
    2.99115670986942-1.57079632675     		φ = 1.42036038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12072844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42036038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.380655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21296 KachelY 11601 -2.12072844 1.42036038 -121.508789 81.380655
    Oben rechts KachelX + 1 21297 KachelY 11601 -2.12068050 1.42036038 -121.506042 81.380655
    Unten links KachelX 21296 KachelY + 1 11602 -2.12072844 1.42035320 -121.508789 81.380244
    Unten rechts KachelX + 1 21297 KachelY + 1 11602 -2.12068050 1.42035320 -121.506042 81.380244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42036038-1.42035320) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42036038-1.42035320) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12072844--2.12068050) × cos(1.42036038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149869169841929 × 6371000     		do = 45.7739021021269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12072844--2.12068050) × cos(1.42035320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149876268745975 × 6371000     		du = 45.7760702901483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42036038)-sin(1.42035320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149869169841929-0.149876268745975)×R²
    abs(-2.12068050--2.12072844)×7.0989040457381e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.0989040457381e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.0989040457381e-06×40589641000000     		ar = 2093.92089807883m²