Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21291 / 45883
↖ ↑ ↗
← S 58.248836°
W 63.045044°		 ← 321.42 m → S 58.248836°
W 63.039551°		 →
↑
321.42 m
↓
↑
321.42 m
↓
S 58.251727°
W 63.045044°		 ← 321.39 m →
103 304 m²		 S 58.251727°
W 63.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324882507324219 y=0.700126647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324882507324219 × 216)
    floor (0.324882507324219 × 65536)
    floor (21291.5)     		tx = 21291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700126647949219 × 216)
    floor (0.700126647949219 × 65536)
    floor (45883.5)     		ty = 45883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21291 / 45883 ti = "16/21291/45883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21291/45883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21291 ÷ 216
    21291 ÷ 65536     		x = 0.324874877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45883 ÷ 216
    45883 ÷ 65536     		y = 0.700119018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324874877929688 × 2 - 1) × π
    -0.350250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10034359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700119018554688 × 2 - 1) × π
    -0.400238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25738487703407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10034359} λ = -1.10034359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25738487703407))-π/2
    2×atan(0.284396787441142)-π/2
    2×0.277081171110506-π/2
    0.554162342221013-1.57079632675     		φ = -1.01663398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10034359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.045044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01663398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.248836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21291 KachelY 45883 -1.10034359 -1.01663398 -63.045044 -58.248836
    Oben rechts KachelX + 1 21292 KachelY 45883 -1.10024772 -1.01663398 -63.039551 -58.248836
    Unten links KachelX 21291 KachelY + 1 45884 -1.10034359 -1.01668443 -63.045044 -58.251727
    Unten rechts KachelX + 1 21292 KachelY + 1 45884 -1.10024772 -1.01668443 -63.039551 -58.251727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01663398--1.01668443) × R
    5.04500000000352e-05 × 6371000     		dl = 321.416950000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01663398--1.01668443) × R
    5.04500000000352e-05 × 6371000     		dr = 321.416950000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10034359--1.10024772) × cos(-1.01663398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526231193590476 × 6371000     		do = 321.415577237558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10034359--1.10024772) × cos(-1.01668443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52618829319023 × 6371000     		du = 321.38937419776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01663398)-sin(-1.01668443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526231193590476-0.52618829319023)×R²
    abs(-1.10024772--1.10034359)×4.29004002459044e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29004002459044e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29004002459044e-05×40589641000000     		ar = 103304.203489662m²