Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2129 / 2158
↖ ↑ ↗
← S  9.622414°
E  7.119140°		 ← 9 635.49 m → S  9.622414°
E  7.207031°		 →
↑
9 634.23 m
↓
↑
9 634.23 m
↓
S  9.709057°
E  7.119140°		 ← 9 633.01 m →
92 818 533 m²		 S  9.709057°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5198974609375 y=0.5269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5198974609375 × 212)
    floor (0.5198974609375 × 4096)
    floor (2129.5)     		tx = 2129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5269775390625 × 212)
    floor (0.5269775390625 × 4096)
    floor (2158.5)     		ty = 2158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2129 / 2158 ti = "12/2129/2158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2129/2158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2129 ÷ 212
    2129 ÷ 4096     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2158 ÷ 212
    2158 ÷ 4096     		y = 0.52685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.168737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168737886662598))-π/2
    2×atan(0.844730289446019)-π/2
    2×0.701426759007573-π/2
    1.40285351801515-1.57079632675     		φ = -0.16794281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16794281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.622414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2129 KachelY 2158 0.12425244 -0.16794281 7.119140 -9.622414
    Oben rechts KachelX + 1 2130 KachelY 2158 0.12578642 -0.16794281 7.207031 -9.622414
    Unten links KachelX 2129 KachelY + 1 2159 0.12425244 -0.16945501 7.119140 -9.709057
    Unten rechts KachelX + 1 2130 KachelY + 1 2159 0.12578642 -0.16945501 7.207031 -9.709057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16794281--0.16945501) × R
    0.00151219999999999 × 6371000     		dl = 9634.22619999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16794281--0.16945501) × R
    0.00151219999999999 × 6371000     		dr = 9634.22619999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12578642) × cos(-0.16794281) × R
    0.00153398 × 0.985930721388994 × 6371000     		do = 9635.48770894438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12578642) × cos(-0.16945501) × R
    0.00153398 × 0.985676823227132 × 6371000     		du = 9633.00636561582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16794281)-sin(-0.16945501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985930721388994-0.985676823227132)×R²
    abs(0.12578642-0.12425244)×0.000253898161861832×R²
    0.00153398×0.000253898161861832×6371000²
    0.00153398×0.000253898161861832×40589641000000     		ar = 92818532.9115577m²