Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21287 / 24282
↖ ↑ ↗
← S 65.192251°
E 53.865967°		 ← 512.54 m → S 65.192251°
E 53.876953°		 →
↑
512.55 m
↓
↑
512.55 m
↓
S 65.196860°
E 53.865967°		 ← 512.45 m →
262 679 m²		 S 65.196860°
E 53.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649642944335938 y=0.741043090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649642944335938 × 215)
    floor (0.649642944335938 × 32768)
    floor (21287.5)     		tx = 21287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741043090820312 × 215)
    floor (0.741043090820312 × 32768)
    floor (24282.5)     		ty = 24282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21287 / 24282 ti = "15/21287/24282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21287/24282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21287 ÷ 215
    21287 ÷ 32768     		x = 0.649627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24282 ÷ 215
    24282 ÷ 32768     		y = 0.74102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649627685546875 × 2 - 1) × π
    0.29925537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94013848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51442253279681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94013848} λ = 0.94013848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51442253279681))-π/2
    2×atan(0.219935153522097)-π/2
    2×0.216488451332215-π/2
    0.43297690266443-1.57079632675     		φ = -1.13781942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94013848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.865967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13781942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.192251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21287 KachelY 24282 0.94013848 -1.13781942 53.865967 -65.192251
    Oben rechts KachelX + 1 21288 KachelY 24282 0.94033022 -1.13781942 53.876953 -65.192251
    Unten links KachelX 21287 KachelY + 1 24283 0.94013848 -1.13789987 53.865967 -65.196860
    Unten rechts KachelX + 1 21288 KachelY + 1 24283 0.94033022 -1.13789987 53.876953 -65.196860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13781942--1.13789987) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dl = 512.546950000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13781942--1.13789987) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dr = 512.546950000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94013848-0.94033022) × cos(-1.13781942) × R
    0.000191739999999996 × 0.41957485760138 × 6371000     		do = 512.542383244818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94013848-0.94033022) × cos(-1.13789987) × R
    0.000191739999999996 × 0.41950183011027 × 6371000     		du = 512.453174647931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13781942)-sin(-1.13789987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41957485760138-0.41950183011027)×R²
    abs(0.94033022-0.94013848)×7.30274911098783e-05×R²
    0.000191739999999996×7.30274911098783e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.30274911098783e-05×40589641000000     		ar = 262679.173622245m²