Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21284 / 24284
↖ ↑ ↗
← S 65.201468°
E 53.833008°		 ← 512.39 m → S 65.201468°
E 53.843994°		 →
↑
512.36 m
↓
↑
512.36 m
↓
S 65.206076°
E 53.833008°		 ← 512.30 m →
262 504 m²		 S 65.206076°
E 53.843994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649551391601562 y=0.741104125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649551391601562 × 215)
    floor (0.649551391601562 × 32768)
    floor (21284.5)     		tx = 21284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741104125976562 × 215)
    floor (0.741104125976562 × 32768)
    floor (24284.5)     		ty = 24284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21284 / 24284 ti = "15/21284/24284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21284/24284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21284 ÷ 215
    21284 ÷ 32768     		x = 0.6495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24284 ÷ 215
    24284 ÷ 32768     		y = 0.7410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6495361328125 × 2 - 1) × π
    0.299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93956323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93956323} λ = 0.93956323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51480602799377))-π/2
    2×atan(0.219850825617786)-π/2
    2×0.216408012863344-π/2
    0.432816025726688-1.57079632675     		φ = -1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93956323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21284 KachelY 24284 0.93956323 -1.13798030 53.833008 -65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 21285 KachelY 24284 0.93975498 -1.13798030 53.843994 -65.201468
    Unten links KachelX 21284 KachelY + 1 24285 0.93956323 -1.13806072 53.833008 -65.206076
    Unten rechts KachelX + 1 21285 KachelY + 1 24285 0.93975498 -1.13806072 53.843994 -65.206076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13798030--1.13806072) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dl = 512.355819999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13798030--1.13806072) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dr = 512.355819999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93956323-0.93975498) × cos(-1.13798030) × R
    0.000191750000000046 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 512.390706723113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93956323-0.93975498) × cos(-1.13806072) × R
    0.000191750000000046 × 0.419355812374319 × 6371000     		du = 512.301520112227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13798030)-sin(-1.13806072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.419355812374319)×R²
    abs(0.93975498-0.93956323)×7.3005685505112e-05×R²
    0.000191750000000046×7.3005685505112e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.3005685505112e-05×40589641000000     		ar = 262503.513205641m²