Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21281 / 45923
↖ ↑ ↗
← S 58.364275°
W 63.099975°		 ← 320.37 m → S 58.364275°
W 63.094483°		 →
↑
320.33 m
↓
↑
320.33 m
↓
S 58.367156°
W 63.099975°		 ← 320.34 m →
102 621 m²		 S 58.367156°
W 63.094483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324729919433594 y=0.700736999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324729919433594 × 216)
    floor (0.324729919433594 × 65536)
    floor (21281.5)     		tx = 21281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700736999511719 × 216)
    floor (0.700736999511719 × 65536)
    floor (45923.5)     		ty = 45923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21281 / 45923 ti = "16/21281/45923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21281/45923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21281 ÷ 216
    21281 ÷ 65536     		x = 0.324722290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45923 ÷ 216
    45923 ÷ 65536     		y = 0.700729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324722290039062 × 2 - 1) × π
    -0.350555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.10130233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700729370117188 × 2 - 1) × π
    -0.401458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.26121982900368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10130233} λ = -1.10130233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26121982900368))-π/2
    2×atan(0.283308228041609)-π/2
    2×0.276073779579211-π/2
    0.552147559158421-1.57079632675     		φ = -1.01864877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10130233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.099975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01864877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.364275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21281 KachelY 45923 -1.10130233 -1.01864877 -63.099975 -58.364275
    Oben rechts KachelX + 1 21282 KachelY 45923 -1.10120646 -1.01864877 -63.094483 -58.364275
    Unten links KachelX 21281 KachelY + 1 45924 -1.10130233 -1.01869905 -63.099975 -58.367156
    Unten rechts KachelX + 1 21282 KachelY + 1 45924 -1.10120646 -1.01869905 -63.094483 -58.367156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01864877--1.01869905) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000     		dl = 320.333879999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01864877--1.01869905) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000     		dr = 320.333879999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10130233--1.10120646) × cos(-1.01864877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524516867037179 × 6371000     		do = 320.368487545018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10130233--1.10120646) × cos(-1.01869905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524474057979347 × 6371000     		du = 320.342340296049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01864877)-sin(-1.01869905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524516867037179-0.524474057979347)×R²
    abs(-1.10120646--1.10130233)×4.28090578322715e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28090578322715e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28090578322715e-05×40589641000000     		ar = 102620.692741816m²