Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21280 / 45924
↖ ↑ ↗
← S 58.367156°
W 63.105469°		 ← 320.38 m → S 58.367156°
W 63.099975°		 →
↑
320.33 m
↓
↑
320.33 m
↓
S 58.370037°
W 63.105469°		 ← 320.35 m →
102 623 m²		 S 58.370037°
W 63.099975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324714660644531 y=0.700752258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324714660644531 × 216)
    floor (0.324714660644531 × 65536)
    floor (21280.5)     		tx = 21280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700752258300781 × 216)
    floor (0.700752258300781 × 65536)
    floor (45924.5)     		ty = 45924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21280 / 45924 ti = "16/21280/45924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21280/45924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21280 ÷ 216
    21280 ÷ 65536     		x = 0.32470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45924 ÷ 216
    45924 ÷ 65536     		y = 0.70074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10139821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4014892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.26131570280292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10139821} λ = -1.10139821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26131570280292))-π/2
    2×atan(0.283281067507443)-π/2
    2×0.276048636892895-π/2
    0.55209727378579-1.57079632675     		φ = -1.01869905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10139821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01869905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.367156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21280 KachelY 45924 -1.10139821 -1.01869905 -63.105469 -58.367156
    Oben rechts KachelX + 1 21281 KachelY 45924 -1.10130233 -1.01869905 -63.099975 -58.367156
    Unten links KachelX 21280 KachelY + 1 45925 -1.10139821 -1.01874933 -63.105469 -58.370037
    Unten rechts KachelX + 1 21281 KachelY + 1 45925 -1.10130233 -1.01874933 -63.099975 -58.370037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01869905--1.01874933) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000     		dl = 320.333879999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01869905--1.01874933) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000     		dr = 320.333879999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10139821--1.10130233) × cos(-1.01869905) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.524474057979347 × 6371000     		do = 320.37575453808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10139821--1.10130233) × cos(-1.01874933) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.524431247595603 × 6371000     		du = 320.349603751811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01869905)-sin(-1.01874933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524474057979347-0.524431247595603)×R²
    abs(-1.10130233--1.10139821)×4.28103837436522e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.28103837436522e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.28103837436522e-05×40589641000000     		ar = 102623.020039365m²