Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21278 / 24294
↖ ↑ ↗
← S 65.247508°
E 53.767090°		 ← 511.47 m → S 65.247508°
E 53.778076°		 →
↑
511.40 m
↓
↑
511.40 m
↓
S 65.252108°
E 53.767090°		 ← 511.38 m →
261 544 m²		 S 65.252108°
E 53.778076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649368286132812 y=0.741409301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649368286132812 × 215)
    floor (0.649368286132812 × 32768)
    floor (21278.5)     		tx = 21278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741409301757812 × 215)
    floor (0.741409301757812 × 32768)
    floor (24294.5)     		ty = 24294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21278 / 24294 ti = "15/21278/24294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21278/24294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21278 ÷ 215
    21278 ÷ 32768     		x = 0.64935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24294 ÷ 215
    24294 ÷ 32768     		y = 0.74139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64935302734375 × 2 - 1) × π
    0.2987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93841275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.4827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93841275} λ = 0.93841275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51672350397858))-π/2
    2×atan(0.219429670845544)-π/2
    2×0.216006240341136-π/2
    0.432012480682271-1.57079632675     		φ = -1.13878385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93841275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13878385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.247508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21278 KachelY 24294 0.93841275 -1.13878385 53.767090 -65.247508
    Oben rechts KachelX + 1 21279 KachelY 24294 0.93860449 -1.13878385 53.778076 -65.247508
    Unten links KachelX 21278 KachelY + 1 24295 0.93841275 -1.13886412 53.767090 -65.252108
    Unten rechts KachelX + 1 21279 KachelY + 1 24295 0.93860449 -1.13886412 53.778076 -65.252108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13878385--1.13886412) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dl = 511.400169999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13878385--1.13886412) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dr = 511.400169999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93841275-0.93860449) × cos(-1.13878385) × R
    0.000191739999999996 × 0.418699229496819 × 6371000     		do = 511.47273737015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93841275-0.93860449) × cos(-1.13886412) × R
    0.000191739999999996 × 0.418626332956921 × 6371000     		du = 511.383688740059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13878385)-sin(-1.13886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418699229496819-0.418626332956921)×R²
    abs(0.93860449-0.93841275)×7.28965398987258e-05×R²
    0.000191739999999996×7.28965398987258e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.28965398987258e-05×40589641000000     		ar = 261544.475239203m²