Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21275 / 24278
↖ ↑ ↗
← S 65.173806°
E 53.734131°		 ← 512.93 m → S 65.173806°
E 53.745117°		 →
↑
512.87 m
↓
↑
512.87 m
↓
S 65.178418°
E 53.734131°		 ← 512.84 m →
263 039 m²		 S 65.178418°
E 53.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649276733398438 y=0.740921020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649276733398438 × 215)
    floor (0.649276733398438 × 32768)
    floor (21275.5)     		tx = 21275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740921020507812 × 215)
    floor (0.740921020507812 × 32768)
    floor (24278.5)     		ty = 24278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21275 / 24278 ti = "15/21275/24278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21275/24278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21275 ÷ 215
    21275 ÷ 32768     		x = 0.649261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24278 ÷ 215
    24278 ÷ 32768     		y = 0.74090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649261474609375 × 2 - 1) × π
    0.29852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93783750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.4818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51365554240289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93783750} λ = 0.93783750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51365554240289))-π/2
    2×atan(0.220103906379772)-π/2
    2×0.216649412295717-π/2
    0.433298824591434-1.57079632675     		φ = -1.13749750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93783750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.734131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13749750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.173806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21275 KachelY 24278 0.93783750 -1.13749750 53.734131 -65.173806
    Oben rechts KachelX + 1 21276 KachelY 24278 0.93802925 -1.13749750 53.745117 -65.173806
    Unten links KachelX 21275 KachelY + 1 24279 0.93783750 -1.13757800 53.734131 -65.178418
    Unten rechts KachelX + 1 21276 KachelY + 1 24279 0.93802925 -1.13757800 53.745117 -65.178418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13749750--1.13757800) × R
    8.04999999999279e-05 × 6371000     		dl = 512.86549999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13749750--1.13757800) × R
    8.04999999999279e-05 × 6371000     		dr = 512.86549999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93783750-0.93802925) × cos(-1.13749750) × R
    0.000191750000000046 × 0.419867049315637 × 6371000     		do = 512.926067225791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93783750-0.93802925) × cos(-1.13757800) × R
    0.000191750000000046 × 0.419793987312739 × 6371000     		du = 512.836811815367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13749750)-sin(-1.13757800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419867049315637-0.419793987312739)×R²
    abs(0.93802925-0.93783750)×7.30620028976947e-05×R²
    0.000191750000000046×7.30620028976947e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.30620028976947e-05×40589641000000     		ar = 263039.196062149m²