Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2127 / 2153
↖ ↑ ↗
← S  9.188870°
E  6.943359°		 ← 9 647.57 m → S  9.188870°
E  7.031250°		 →
↑
9 646.39 m
↓
↑
9 646.39 m
↓
S  9.275622°
E  6.943359°		 ← 9 645.20 m →
93 052 864 m²		 S  9.275622°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5194091796875 y=0.5257568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5194091796875 × 212)
    floor (0.5194091796875 × 4096)
    floor (2127.5)     		tx = 2127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5257568359375 × 212)
    floor (0.5257568359375 × 4096)
    floor (2153.5)     		ty = 2153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2127 / 2153 ti = "12/2127/2153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2127/2153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2127 ÷ 212
    2127 ÷ 4096     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2153 ÷ 212
    2153 ÷ 4096     		y = 0.525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161067982723389))-π/2
    2×atan(0.851234199920901)-π/2
    2×0.705210144643685-π/2
    1.41042028928737-1.57079632675     		φ = -0.16037604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16037604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.188870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2127 KachelY 2153 0.12118448 -0.16037604 6.943359 -9.188870
    Oben rechts KachelX + 1 2128 KachelY 2153 0.12271846 -0.16037604 7.031250 -9.188870
    Unten links KachelX 2127 KachelY + 1 2154 0.12118448 -0.16189015 6.943359 -9.275622
    Unten rechts KachelX + 1 2128 KachelY + 1 2154 0.12271846 -0.16189015 7.031250 -9.275622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16037604--0.16189015) × R
    0.00151411000000001 × 6371000     		dl = 9646.39481000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16037604--0.16189015) × R
    0.00151411000000001 × 6371000     		dr = 9646.39481000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12271846) × cos(-0.16037604) × R
    0.00153398 × 0.987167303558654 × 6371000     		do = 9647.57280989353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12271846) × cos(-0.16189015) × R
    0.00153398 × 0.98692438473005 × 6371000     		du = 9645.19876744156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16037604)-sin(-0.16189015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987167303558654-0.98692438473005)×R²
    abs(0.12271846-0.12118448)×0.000242918828603722×R²
    0.00153398×0.000242918828603722×6371000²
    0.00153398×0.000242918828603722×40589641000000     		ar = 93052863.5842613m²