Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21255 / 13062
↖ ↑ ↗
← N 80.757969°
W121.621399°		 ← 49.04 m → N 80.757969°
W121.618653°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.757527°
W121.621399°		 ← 49.05 m →
2 406 m²		 N 80.757527°
W121.618653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162166595458984 y=0.0996589660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162166595458984 × 217)
    floor (0.162166595458984 × 131072)
    floor (21255.5)     		tx = 21255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996589660644531 × 217)
    floor (0.0996589660644531 × 131072)
    floor (13062.5)     		ty = 13062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21255 / 13062 ti = "17/21255/13062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21255/13062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21255 ÷ 217
    21255 ÷ 131072     		x = 0.162162780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13062 ÷ 217
    13062 ÷ 131072     		y = 0.0996551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162162780761719 × 2 - 1) × π
    -0.675674438476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.12269385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996551513671875 × 2 - 1) × π
    0.800689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51544087066283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12269385} λ = -2.12269385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51544087066283))-π/2
    2×atan(12.3720620561282)-π/2
    2×1.49014438620011-π/2
    2.98028877240023-1.57079632675     		φ = 1.40949245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12269385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.621399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40949245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.757969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21255 KachelY 13062 -2.12269385 1.40949245 -121.621399 80.757969
    Oben rechts KachelX + 1 21256 KachelY 13062 -2.12264592 1.40949245 -121.618653 80.757969
    Unten links KachelX 21255 KachelY + 1 13063 -2.12269385 1.40948475 -121.621399 80.757527
    Unten rechts KachelX + 1 21256 KachelY + 1 13063 -2.12264592 1.40948475 -121.618653 80.757527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40949245-1.40948475) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dl = 49.056699998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40949245-1.40948475) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dr = 49.056699998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12269385--2.12264592) × cos(1.40949245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160605293567595 × 6371000     		do = 49.0427584725768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12269385--2.12264592) × cos(1.40948475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160612893606923 × 6371000     		du = 49.0450792360142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40949245)-sin(1.40948475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160605293567595-0.160612893606923)×R²
    abs(-2.12264592--2.12269385)×7.60003932820386e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.60003932820386e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.60003932820386e-06×40589641000000     		ar = 2405.93281403983m²