Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21254 / 13061
↖ ↑ ↗
← N 80.758409°
W121.624146°		 ← 49.05 m → N 80.758409°
W121.621399°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.757969°
W121.624146°		 ← 49.05 m →
2 403 m²		 N 80.757969°
W121.621399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162158966064453 y=0.0996513366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162158966064453 × 217)
    floor (0.162158966064453 × 131072)
    floor (21254.5)     		tx = 21254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996513366699219 × 217)
    floor (0.0996513366699219 × 131072)
    floor (13061.5)     		ty = 13061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21254 / 13061 ti = "17/21254/13061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21254/13061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21254 ÷ 217
    21254 ÷ 131072     		x = 0.162155151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13061 ÷ 217
    13061 ÷ 131072     		y = 0.0996475219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162155151367188 × 2 - 1) × π
    -0.675689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.12274179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996475219726562 × 2 - 1) × π
    0.800704956054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.51548880756245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12274179} λ = -2.12274179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51548880756245))-π/2
    2×atan(12.3726551486404)-π/2
    2×1.49014823556907-π/2
    2.98029647113814-1.57079632675     		φ = 1.40950014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12274179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.624146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40950014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.758409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21254 KachelY 13061 -2.12274179 1.40950014 -121.624146 80.758409
    Oben rechts KachelX + 1 21255 KachelY 13061 -2.12269385 1.40950014 -121.621399 80.758409
    Unten links KachelX 21254 KachelY + 1 13062 -2.12274179 1.40949245 -121.624146 80.757969
    Unten rechts KachelX + 1 21255 KachelY + 1 13062 -2.12269385 1.40949245 -121.621399 80.757969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40950014-1.40949245) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40950014-1.40949245) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12274179--2.12269385) × cos(1.40950014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160597703388944 × 6371000     		do = 49.0506723998365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12274179--2.12269385) × cos(1.40949245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160605293567595 × 6371000     		du = 49.0529906357678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40950014)-sin(1.40949245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160597703388944-0.160605293567595)×R²
    abs(-2.12269385--2.12274179)×7.59017865126221e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59017865126221e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59017865126221e-06×40589641000000     		ar = 2403.19589102583m²