Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21251 / 31494
↖ ↑ ↗
← N 67.869334°
W121.632385°		 ← 115.06 m → N 67.869334°
W121.629639°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
N 67.868299°
W121.632385°		 ← 115.07 m →
13 239 m²		 N 67.868299°
W121.629639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162136077880859 y=0.240283966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162136077880859 × 217)
    floor (0.162136077880859 × 131072)
    floor (21251.5)     		tx = 21251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240283966064453 × 217)
    floor (0.240283966064453 × 131072)
    floor (31494.5)     		ty = 31494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21251 / 31494 ti = "17/21251/31494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21251/31494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21251 ÷ 217
    21251 ÷ 131072     		x = 0.162132263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31494 ÷ 217
    31494 ÷ 131072     		y = 0.240280151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162132263183594 × 2 - 1) × π
    -0.675735473632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.12288560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240280151367188 × 2 - 1) × π
    0.519439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63186793686595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12288560} λ = -2.12288560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63186793686595))-π/2
    2×atan(5.11341734401898)-π/2
    2×1.37766983326025-π/2
    2.75533966652049-1.57079632675     		φ = 1.18454334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12288560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.632385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18454334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.869334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21251 KachelY 31494 -2.12288560 1.18454334 -121.632385 67.869334
    Oben rechts KachelX + 1 21252 KachelY 31494 -2.12283766 1.18454334 -121.629639 67.869334
    Unten links KachelX 21251 KachelY + 1 31495 -2.12288560 1.18452528 -121.632385 67.868299
    Unten rechts KachelX + 1 21252 KachelY + 1 31495 -2.12283766 1.18452528 -121.629639 67.868299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18454334-1.18452528) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dl = 115.060260000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18454334-1.18452528) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dr = 115.060260000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12288560--2.12283766) × cos(1.18454334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376720107831952 × 6371000     		do = 115.060017707378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12288560--2.12283766) × cos(1.18452528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376736837238566 × 6371000     		du = 115.065127298773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18454334)-sin(1.18452528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376720107831952-0.376736837238566)×R²
    abs(-2.12283766--2.12288560)×1.67294066145129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67294066145129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67294066145129e-05×40589641000000     		ar = 13239.1295088852m²