Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2125 / 2134
↖ ↑ ↗
← S  7.536764°
E  6.767578°		 ← 9 688.56 m → S  7.536764°
E  6.855469°		 →
↑
9 687.62 m
↓
↑
9 687.62 m
↓
S  7.623887°
E  6.767578°		 ← 9 686.60 m →
93 849 533 m²		 S  7.623887°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5189208984375 y=0.5211181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5189208984375 × 212)
    floor (0.5189208984375 × 4096)
    floor (2125.5)     		tx = 2125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5211181640625 × 212)
    floor (0.5211181640625 × 4096)
    floor (2134.5)     		ty = 2134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2125 / 2134 ti = "12/2125/2134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2125/2134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2125 ÷ 212
    2125 ÷ 4096     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2134 ÷ 212
    2134 ÷ 4096     		y = 0.52099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.131922347754395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.131922347754395))-π/2
    2×atan(0.876409047567737)-π/2
    2×0.719627487215715-π/2
    1.43925497443143-1.57079632675     		φ = -0.13154135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13154135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.536764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2125 KachelY 2134 0.11811652 -0.13154135 6.767578 -7.536764
    Oben rechts KachelX + 1 2126 KachelY 2134 0.11965050 -0.13154135 6.855469 -7.536764
    Unten links KachelX 2125 KachelY + 1 2135 0.11811652 -0.13306193 6.767578 -7.623887
    Unten rechts KachelX + 1 2126 KachelY + 1 2135 0.11965050 -0.13306193 6.855469 -7.623887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13154135--0.13306193) × R
    0.00152057999999999 × 6371000     		dl = 9687.61517999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13154135--0.13306193) × R
    0.00152057999999999 × 6371000     		dr = 9687.61517999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11965050) × cos(-0.13154135) × R
    0.00153398 × 0.991360904351957 × 6371000     		do = 9688.55681416837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11965050) × cos(-0.13306193) × R
    0.00153398 × 0.991160315516052 × 6371000     		du = 9686.59646216697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13154135)-sin(-0.13306193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991360904351957-0.991160315516052)×R²
    abs(0.11965050-0.11811652)×0.000200588835905013×R²
    0.00153398×0.000200588835905013×6371000²
    0.00153398×0.000200588835905013×40589641000000     		ar = 93849532.5802828m²