Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2125 / 1867
↖ ↑ ↗
← N 79.893594°
W133.308105°		 ← 428.74 m → N 79.893594°
W133.286133°		 →
↑
428.83 m
↓
↑
428.83 m
↓
N 79.889737°
W133.308105°		 ← 428.90 m →
183 892 m²		 N 79.889737°
W133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129730224609375 y=0.113983154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129730224609375 × 214)
    floor (0.129730224609375 × 16384)
    floor (2125.5)     		tx = 2125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113983154296875 × 214)
    floor (0.113983154296875 × 16384)
    floor (1867.5)     		ty = 1867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2125 / 1867 ti = "14/2125/1867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2125/1867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2125 ÷ 214
    2125 ÷ 16384     		x = 0.12969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1867 ÷ 214
    1867 ÷ 16384     		y = 0.11395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.7406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32666536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11395263671875 × 2 - 1) × π
    0.7720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42560712077484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32666536} λ = -2.32666536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42560712077484))-π/2
    2×atan(11.3090933209599)-π/2
    2×1.48260129309973-π/2
    2.96520258619947-1.57079632675     		φ = 1.39440626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32666536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.308105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39440626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.893594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2125 KachelY 1867 -2.32666536 1.39440626 -133.308105 79.893594
    Oben rechts KachelX + 1 2126 KachelY 1867 -2.32628186 1.39440626 -133.286133 79.893594
    Unten links KachelX 2125 KachelY + 1 1868 -2.32666536 1.39433895 -133.308105 79.889737
    Unten rechts KachelX + 1 2126 KachelY + 1 1868 -2.32628186 1.39433895 -133.286133 79.889737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39440626-1.39433895) × R
    6.73099999999316e-05 × 6371000     		dl = 428.832009999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39440626-1.39433895) × R
    6.73099999999316e-05 × 6371000     		dr = 428.832009999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32666536--2.32628186) × cos(1.39440626) × R
    0.00038349999999987 × 0.175476804603246 × 6371000     		do = 428.738703935667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32666536--2.32628186) × cos(1.39433895) × R
    0.00038349999999987 × 0.17554306979449 × 6371000     		du = 428.900608252731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39440626)-sin(1.39433895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175476804603246-0.17554306979449)×R²
    abs(-2.32628186--2.32666536)×6.62651912434198e-05×R²
    0.00038349999999987×6.62651912434198e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.62651912434198e-05×40589641000000     		ar = 183891.595118795m²