Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2125 / 1212
↖ ↑ ↗
← N 77.504119°
W 86.616211°		 ← 1 057.29 m → N 77.504119°
W 86.572266°		 →
↑
1 057.65 m
↓
↑
1 057.65 m
↓
N 77.494607°
W 86.616211°		 ← 1 058.08 m →
1 118 659 m²		 N 77.494607°
W 86.572266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.25946044921875 y=0.14801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.25946044921875 × 213)
    floor (0.25946044921875 × 8192)
    floor (2125.5)     		tx = 2125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14801025390625 × 213)
    floor (0.14801025390625 × 8192)
    floor (1212.5)     		ty = 1212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2125 / 1212 ti = "13/2125/1212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2125/1212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2125 ÷ 213
    2125 ÷ 8192     		x = 0.2593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1212 ÷ 213
    1212 ÷ 8192     		y = 0.14794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.481201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.51173807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14794921875 × 2 - 1) × π
    0.7041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21200029606787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51173807} λ = -1.51173807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21200029606787))-π/2
    2×atan(9.13396877369383)-π/2
    2×1.46174919516288-π/2
    2.92349839032576-1.57079632675     		φ = 1.35270206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51173807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.616211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35270206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.504119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2125 KachelY 1212 -1.51173807 1.35270206 -86.616211 77.504119
    Oben rechts KachelX + 1 2126 KachelY 1212 -1.51097108 1.35270206 -86.572266 77.504119
    Unten links KachelX 2125 KachelY + 1 1213 -1.51173807 1.35253605 -86.616211 77.494607
    Unten rechts KachelX + 1 2126 KachelY + 1 1213 -1.51097108 1.35253605 -86.572266 77.494607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35270206-1.35253605) × R
    0.000166009999999828 × 6371000     		dl = 1057.6497099989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35270206-1.35253605) × R
    0.000166009999999828 × 6371000     		dr = 1057.6497099989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51173807--1.51097108) × cos(1.35270206) × R
    0.000766990000000023 × 0.216369427747516 × 6371000     		do = 1057.28775684941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51173807--1.51097108) × cos(1.35253605) × R
    0.000766990000000023 × 0.216531502248076 × 6371000     		du = 1058.07973280888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35270206)-sin(1.35253605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216369427747516-0.216531502248076)×R²
    abs(-1.51097108--1.51173807)×0.000162074500560438×R²
    0.000766990000000023×0.000162074500560438×6371000²
    0.000766990000000023×0.000162074500560438×40589641000000     		ar = 1118658.9085569m²