Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21249 / 13055
↖ ↑ ↗
← N 80.761056°
W121.637878°		 ← 49.03 m → N 80.761056°
W121.635132°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.760615°
W121.637878°		 ← 49.03 m →
2 405 m²		 N 80.760615°
W121.635132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162120819091797 y=0.0996055603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162120819091797 × 217)
    floor (0.162120819091797 × 131072)
    floor (21249.5)     		tx = 21249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996055603027344 × 217)
    floor (0.0996055603027344 × 131072)
    floor (13055.5)     		ty = 13055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21249 / 13055 ti = "17/21249/13055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21249/13055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21249 ÷ 217
    21249 ÷ 131072     		x = 0.162117004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13055 ÷ 217
    13055 ÷ 131072     		y = 0.0996017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162117004394531 × 2 - 1) × π
    -0.675765991210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.12298147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996017456054688 × 2 - 1) × π
    0.800796508789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.51577642896017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12298147} λ = -2.12298147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51577642896017))-π/2
    2×atan(12.3762143008274)-π/2
    2×1.49017132795842-π/2
    2.98034265591685-1.57079632675     		φ = 1.40954633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12298147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.637878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40954633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.761056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21249 KachelY 13055 -2.12298147 1.40954633 -121.637878 80.761056
    Oben rechts KachelX + 1 21250 KachelY 13055 -2.12293354 1.40954633 -121.635132 80.761056
    Unten links KachelX 21249 KachelY + 1 13056 -2.12298147 1.40953863 -121.637878 80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 21250 KachelY + 1 13056 -2.12293354 1.40953863 -121.635132 80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40954633-1.40953863) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40954633-1.40953863) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12298147--2.12293354) × cos(1.40954633) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160552112766245 × 6371000     		do = 49.0265190751195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12298147--2.12293354) × cos(1.40953863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 49.0288398589007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40954633)-sin(1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160552112766245-0.160559712872195)×R²
    abs(-2.12293354--2.12298147)×7.60010595024507e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.60010595024507e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.60010595024507e-06×40589641000000     		ar = 2405.13616334611m²