Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21248 / 13056
↖ ↑ ↗
← N 80.760615°
W121.640625°		 ← 49.04 m → N 80.760615°
W121.637878°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.760174°
W121.640625°		 ← 49.04 m →
2 403 m²		 N 80.760174°
W121.637878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162113189697266 y=0.0996131896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162113189697266 × 217)
    floor (0.162113189697266 × 131072)
    floor (21248.5)     		tx = 21248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996131896972656 × 217)
    floor (0.0996131896972656 × 131072)
    floor (13056.5)     		ty = 13056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21248 / 13056 ti = "17/21248/13056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21248/13056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21248 ÷ 217
    21248 ÷ 131072     		x = 0.162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13056 ÷ 217
    13056 ÷ 131072     		y = 0.099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162109375 × 2 - 1) × π
    -0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099609375 × 2 - 1) × π
    0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12302941} λ = -2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51572849206055))-π/2
    2×atan(12.3756210377045)-π/2
    2×1.49016747968211-π/2
    2.98033495936421-1.57079632675     		φ = 1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21248 KachelY 13056 -2.12302941 1.40953863 -121.640625 80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 21249 KachelY 13056 -2.12298147 1.40953863 -121.637878 80.760615
    Unten links KachelX 21248 KachelY + 1 13057 -2.12302941 1.40953094 -121.640625 80.760174
    Unten rechts KachelX + 1 21249 KachelY + 1 13057 -2.12298147 1.40953094 -121.637878 80.760174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40953863-1.40953094) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40953863-1.40953094) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12302941--2.12298147) × cos(1.40953863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 49.0390691181456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12302941--2.12298147) × cos(1.40953094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160567303098377 × 6371000     		du = 49.0413873685939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40953863)-sin(1.40953094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.160567303098377)×R²
    abs(-2.12298147--2.12302941)×7.59022618154748e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59022618154748e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59022618154748e-06×40589641000000     		ar = 2402.62741175757m²