Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21244 / 24318
↖ ↑ ↗
← S 65.357677°
E 53.393555°		 ← 509.37 m → S 65.357677°
E 53.404541°		 →
↑
509.36 m
↓
↑
509.36 m
↓
S 65.362258°
E 53.393555°		 ← 509.28 m →
259 428 m²		 S 65.362258°
E 53.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648330688476562 y=0.742141723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648330688476562 × 215)
    floor (0.648330688476562 × 32768)
    floor (21244.5)     		tx = 21244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742141723632812 × 215)
    floor (0.742141723632812 × 32768)
    floor (24318.5)     		ty = 24318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21244 / 24318 ti = "15/21244/24318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21244/24318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21244 ÷ 215
    21244 ÷ 32768     		x = 0.6483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24318 ÷ 215
    24318 ÷ 32768     		y = 0.74212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6483154296875 × 2 - 1) × π
    0.296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93189333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.4842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5213254463421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93189333} λ = 0.93189333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5213254463421))-π/2
    2×atan(0.218422188114224)-π/2
    2×0.21504483638591-π/2
    0.43008967277182-1.57079632675     		φ = -1.14070665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93189333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14070665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.357677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21244 KachelY 24318 0.93189333 -1.14070665 53.393555 -65.357677
    Oben rechts KachelX + 1 21245 KachelY 24318 0.93208508 -1.14070665 53.404541 -65.357677
    Unten links KachelX 21244 KachelY + 1 24319 0.93189333 -1.14078660 53.393555 -65.362258
    Unten rechts KachelX + 1 21245 KachelY + 1 24319 0.93208508 -1.14078660 53.404541 -65.362258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14070665--1.14078660) × R
    7.99499999999398e-05 × 6371000     		dl = 509.361449999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14070665--1.14078660) × R
    7.99499999999398e-05 × 6371000     		dr = 509.361449999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93189333-0.93208508) × cos(-1.14070665) × R
    0.000191750000000046 × 0.416952313887981 × 6371000     		do = 509.365312024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93189333-0.93208508) × cos(-1.14078660) × R
    0.000191750000000046 × 0.416879643732906 × 6371000     		du = 509.276535310256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14070665)-sin(-1.14078660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416952313887981-0.416879643732906)×R²
    abs(0.93208508-0.93189333)×7.26701550751163e-05×R²
    0.000191750000000046×7.26701550751163e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.26701550751163e-05×40589641000000     		ar = 259428.444332854m²