Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21243 / 24321
↖ ↑ ↗
← S 65.371416°
E 53.382568°		 ← 509.10 m → S 65.371416°
E 53.393555°		 →
↑
509.04 m
↓
↑
509.04 m
↓
S 65.375994°
E 53.382568°		 ← 509.01 m →
259 131 m²		 S 65.375994°
E 53.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648300170898438 y=0.742233276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648300170898438 × 215)
    floor (0.648300170898438 × 32768)
    floor (21243.5)     		tx = 21243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742233276367188 × 215)
    floor (0.742233276367188 × 32768)
    floor (24321.5)     		ty = 24321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21243 / 24321 ti = "15/21243/24321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21243/24321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21243 ÷ 215
    21243 ÷ 32768     		x = 0.648284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24321 ÷ 215
    24321 ÷ 32768     		y = 0.742218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648284912109375 × 2 - 1) × π
    0.29656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93170158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.48443603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52190068913754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93170158} λ = 0.93170158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52190068913754))-π/2
    2×atan(0.218296578455637)-π/2
    2×0.214924943326851-π/2
    0.429849886653703-1.57079632675     		φ = -1.14094644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93170158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14094644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.371416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21243 KachelY 24321 0.93170158 -1.14094644 53.382568 -65.371416
    Oben rechts KachelX + 1 21244 KachelY 24321 0.93189333 -1.14094644 53.393555 -65.371416
    Unten links KachelX 21243 KachelY + 1 24322 0.93170158 -1.14102634 53.382568 -65.375994
    Unten rechts KachelX + 1 21244 KachelY + 1 24322 0.93189333 -1.14102634 53.393555 -65.375994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14094644--1.14102634) × R
    7.99000000000216e-05 × 6371000     		dl = 509.042900000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14094644--1.14102634) × R
    7.99000000000216e-05 × 6371000     		dr = 509.042900000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93170158-0.93189333) × cos(-1.14094644) × R
    0.000191749999999935 × 0.416734349970832 × 6371000     		do = 509.099038747433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93170158-0.93189333) × cos(-1.14102634) × R
    0.000191749999999935 × 0.416661717278144 × 6371000     		du = 509.010307799211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14094644)-sin(-1.14102634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416734349970832-0.416661717278144)×R²
    abs(0.93189333-0.93170158)×7.26326926888121e-05×R²
    0.000191749999999935×7.26326926888121e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.26326926888121e-05×40589641000000     		ar = 259130.667279539m²