Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2124 / 6174
↖ ↑ ↗
← N 40.480382°
W133.330078°		 ← 1 858.43 m → N 40.480382°
W133.308105°		 →
↑
1 858.68 m
↓
↑
1 858.68 m
↓
N 40.463666°
W133.330078°		 ← 1 858.89 m →
3 454 642 m²		 N 40.463666°
W133.308105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129669189453125 y=0.376861572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129669189453125 × 214)
    floor (0.129669189453125 × 16384)
    floor (2124.5)     		tx = 2124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376861572265625 × 214)
    floor (0.376861572265625 × 16384)
    floor (6174.5)     		ty = 6174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2124 / 6174 ti = "14/2124/6174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2124/6174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2124 ÷ 214
    2124 ÷ 16384     		x = 0.129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6174 ÷ 214
    6174 ÷ 16384     		y = 0.3768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3768310546875 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.773893307466187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32704886} λ = -2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773893307466187))-π/2
    2×atan(2.1681912778284)-π/2
    2×1.13865613258936-π/2
    2.27731226517872-1.57079632675     		φ = 0.70651594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70651594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.480382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2124 KachelY 6174 -2.32704886 0.70651594 -133.330078 40.480382
    Oben rechts KachelX + 1 2125 KachelY 6174 -2.32666536 0.70651594 -133.308105 40.480382
    Unten links KachelX 2124 KachelY + 1 6175 -2.32704886 0.70622420 -133.330078 40.463666
    Unten rechts KachelX + 1 2125 KachelY + 1 6175 -2.32666536 0.70622420 -133.308105 40.463666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70651594-0.70622420) × R
    0.000291739999999985 × 6371000     		dl = 1858.6755399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70651594-0.70622420) × R
    0.000291739999999985 × 6371000     		dr = 1858.6755399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32704886--2.32666536) × cos(0.70651594) × R
    0.000383500000000314 × 0.760628296615062 × 6371000     		do = 1858.42676361273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32704886--2.32666536) × cos(0.70622420) × R
    0.000383500000000314 × 0.760817658245638 × 6371000     		du = 1858.88942681344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70651594)-sin(0.70622420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760628296615062-0.760817658245638)×R²
    abs(-2.32666536--2.32704886)×0.00018936163057548×R²
    0.000383500000000314×0.00018936163057548×6371000²
    0.000383500000000314×0.00018936163057548×40589641000000     		ar = 3454642.36329899m²