Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2124 / 1500
↖ ↑ ↗
← N 43.325178°
E  6.679688°		 ← 7 109.57 m → N 43.325178°
E  6.767578°		 →
↑
7 113.29 m
↓
↑
7 113.29 m
↓
N 43.261206°
E  6.679688°		 ← 7 117.05 m →
50 598 998 m²		 N 43.261206°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5186767578125 y=0.3663330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5186767578125 × 212)
    floor (0.5186767578125 × 4096)
    floor (2124.5)     		tx = 2124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3663330078125 × 212)
    floor (0.3663330078125 × 4096)
    floor (1500.5)     		ty = 1500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2124 / 1500 ti = "12/2124/1500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2124/1500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2124 ÷ 212
    2124 ÷ 4096     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1500 ÷ 212
    1500 ÷ 4096     		y = 0.3662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3662109375 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.840621471737305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840621471737305))-π/2
    2×atan(2.31780698080494)-π/2
    2×1.16348166315243-π/2
    2.32696332630485-1.57079632675     		φ = 0.75616700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75616700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.325178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2124 KachelY 1500 0.11658254 0.75616700 6.679688 43.325178
    Oben rechts KachelX + 1 2125 KachelY 1500 0.11811652 0.75616700 6.767578 43.325178
    Unten links KachelX 2124 KachelY + 1 1501 0.11658254 0.75505049 6.679688 43.261206
    Unten rechts KachelX + 1 2125 KachelY + 1 1501 0.11811652 0.75505049 6.767578 43.261206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75616700-0.75505049) × R
    0.00111651000000001 × 6371000     		dl = 7113.2852100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75616700-0.75505049) × R
    0.00111651000000001 × 6371000     		dr = 7113.2852100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11811652) × cos(0.75616700) × R
    0.00153398 × 0.727471315575443 × 6371000     		do = 7109.56740445377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11811652) × cos(0.75505049) × R
    0.00153398 × 0.728236942029552 × 6371000     		du = 7117.04986151507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75616700)-sin(0.75505049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727471315575443-0.728236942029552)×R²
    abs(0.11811652-0.11658254)×0.000765626454109158×R²
    0.00153398×0.000765626454109158×6371000²
    0.00153398×0.000765626454109158×40589641000000     		ar = 50598998.3495449m²