Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 21239 / 45896
↖ ↑ ↗
← S 58.286395°
W 63.330688°		 ← 321.08 m → S 58.286395°
W 63.325195°		 →
↑
321.10 m
↓
↑
321.10 m
↓
S 58.289283°
W 63.330688°		 ← 321.05 m →
103 092 m²		 S 58.289283°
W 63.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324089050292969 y=0.700325012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324089050292969 × 216)
    floor (0.324089050292969 × 65536)
    floor (21239.5)     		tx = 21239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700325012207031 × 216)
    floor (0.700325012207031 × 65536)
    floor (45896.5)     		ty = 45896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21239 / 45896 ti = "16/21239/45896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21239/45896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21239 ÷ 216
    21239 ÷ 65536     		x = 0.324081420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45896 ÷ 216
    45896 ÷ 65536     		y = 0.7003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324081420898438 × 2 - 1) × π
    -0.351837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.10532903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25863123642419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10532903} λ = -1.10532903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25863123642419))-π/2
    2×atan(0.284042547635505)-π/2
    2×0.276753408258992-π/2
    0.553506816517983-1.57079632675     		φ = -1.01728951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10532903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.330688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01728951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.286395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21239 KachelY 45896 -1.10532903 -1.01728951 -63.330688 -58.286395
    Oben rechts KachelX + 1 21240 KachelY 45896 -1.10523316 -1.01728951 -63.325195 -58.286395
    Unten links KachelX 21239 KachelY + 1 45897 -1.10532903 -1.01733991 -63.330688 -58.289283
    Unten rechts KachelX + 1 21240 KachelY + 1 45897 -1.10523316 -1.01733991 -63.325195 -58.289283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01728951--1.01733991) × R
    5.0400000000117e-05 × 6371000     		dl = 321.098400000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01728951--1.01733991) × R
    5.0400000000117e-05 × 6371000     		dr = 321.098400000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10532903--1.10523316) × cos(-1.01728951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.525673656176211 × 6371000     		do = 321.075040203608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10532903--1.10523316) × cos(-1.01733991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.525630780918286 × 6371000     		du = 321.048852520431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01728951)-sin(-1.01733991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525673656176211-0.525630780918286)×R²
    abs(-1.10523316--1.10532903)×4.28752579254565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28752579254565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28752579254565e-05×40589641000000     		ar = 103092.477299743m²