Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21223 / 45928
↖ ↑ ↗
← S 58.378678°
W 63.418579°		 ← 320.24 m → S 58.378678°
W 63.413086°		 →
↑
320.27 m
↓
↑
320.27 m
↓
S 58.381559°
W 63.418579°		 ← 320.21 m →
102 558 m²		 S 58.381559°
W 63.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323844909667969 y=0.700813293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323844909667969 × 216)
    floor (0.323844909667969 × 65536)
    floor (21223.5)     		tx = 21223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700813293457031 × 216)
    floor (0.700813293457031 × 65536)
    floor (45928.5)     		ty = 45928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21223 / 45928 ti = "16/21223/45928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21223/45928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21223 ÷ 216
    21223 ÷ 65536     		x = 0.323837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45928 ÷ 216
    45928 ÷ 65536     		y = 0.7008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323837280273438 × 2 - 1) × π
    -0.352325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.10686301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.26169919799988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10686301} λ = -1.10686301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26169919799988))-π/2
    2×atan(0.283172451406872)-π/2
    2×0.275948086669601-π/2
    0.551896173339202-1.57079632675     		φ = -1.01890015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10686301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.418579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01890015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.378678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21223 KachelY 45928 -1.10686301 -1.01890015 -63.418579 -58.378678
    Oben rechts KachelX + 1 21224 KachelY 45928 -1.10676714 -1.01890015 -63.413086 -58.378678
    Unten links KachelX 21223 KachelY + 1 45929 -1.10686301 -1.01895042 -63.418579 -58.381559
    Unten rechts KachelX + 1 21224 KachelY + 1 45929 -1.10676714 -1.01895042 -63.413086 -58.381559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01890015--1.01895042) × R
    5.02700000000189e-05 × 6371000     		dl = 320.27017000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01890015--1.01895042) × R
    5.02700000000189e-05 × 6371000     		dr = 320.27017000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10686301--1.10676714) × cos(-1.01890015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524302825520623 × 6371000     		do = 320.237753604433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10686301--1.10676714) × cos(-1.01895042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524260018350425 × 6371000     		du = 320.211607508408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01890015)-sin(-1.01895042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524302825520623-0.524260018350425)×R²
    abs(-1.10676714--1.10686301)×4.28071701980004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28071701980004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28071701980004e-05×40589641000000     		ar = 102558.412901385m²