Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21222 / 45927
↖ ↑ ↗
← S 58.375798°
W 63.424072°		 ← 320.30 m → S 58.375798°
W 63.418579°		 →
↑
320.27 m
↓
↑
320.27 m
↓
S 58.378678°
W 63.424072°		 ← 320.27 m →
102 577 m²		 S 58.378678°
W 63.418579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323829650878906 y=0.700798034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323829650878906 × 216)
    floor (0.323829650878906 × 65536)
    floor (21222.5)     		tx = 21222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700798034667969 × 216)
    floor (0.700798034667969 × 65536)
    floor (45927.5)     		ty = 45927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21222 / 45927 ti = "16/21222/45927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21222/45927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21222 ÷ 216
    21222 ÷ 65536     		x = 0.323822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45927 ÷ 216
    45927 ÷ 65536     		y = 0.700790405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.35235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.10695889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700790405273438 × 2 - 1) × π
    -0.401580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.26160332420064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10695889} λ = -1.10695889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26160332420064))-π/2
    2×atan(0.2831996015271)-π/2
    2×0.275973221147337-π/2
    0.551946442294674-1.57079632675     		φ = -1.01884988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10695889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01884988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.375798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21222 KachelY 45927 -1.10695889 -1.01884988 -63.424072 -58.375798
    Oben rechts KachelX + 1 21223 KachelY 45927 -1.10686301 -1.01884988 -63.418579 -58.375798
    Unten links KachelX 21222 KachelY + 1 45928 -1.10695889 -1.01890015 -63.424072 -58.378678
    Unten rechts KachelX + 1 21223 KachelY + 1 45928 -1.10686301 -1.01890015 -63.418579 -58.378678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01884988--1.01890015) × R
    5.02699999997969e-05 × 6371000     		dl = 320.270169998706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01884988--1.01890015) × R
    5.02699999997969e-05 × 6371000     		dr = 320.270169998706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10695889--1.10686301) × cos(-1.01884988) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.524345631365869 × 6371000     		do = 320.297304951166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10695889--1.10686301) × cos(-1.01890015) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.524302825520623 × 6371000     		du = 320.271156937244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01884988)-sin(-1.01890015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524345631365869-0.524302825520623)×R²
    abs(-1.10686301--1.10695889)×4.28058452464075e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.28058452464075e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.28058452464075e-05×40589641000000     		ar = 102577.485114101m²