Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2122 / 1477
↖ ↑ ↗
← N 44.777936°
E  6.503906°		 ← 6 937.28 m → N 44.777936°
E  6.591797°		 →
↑
6 941.01 m
↓
↑
6 941.01 m
↓
N 44.715514°
E  6.503906°		 ← 6 944.77 m →
48 177 748 m²		 N 44.715514°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5181884765625 y=0.3607177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5181884765625 × 212)
    floor (0.5181884765625 × 4096)
    floor (2122.5)     		tx = 2122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3607177734375 × 212)
    floor (0.3607177734375 × 4096)
    floor (1477.5)     		ty = 1477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2122 / 1477 ti = "12/2122/1477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2122/1477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2122 ÷ 212
    2122 ÷ 4096     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1477 ÷ 212
    1477 ÷ 4096     		y = 0.360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360595703125 × 2 - 1) × π
    0.27880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.875903029857666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875903029857666))-π/2
    2×atan(2.40104252837378)-π/2
    2×1.1761593702074-π/2
    2.3523187404148-1.57079632675     		φ = 0.78152241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78152241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.777936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2122 KachelY 1477 0.11351458 0.78152241 6.503906 44.777936
    Oben rechts KachelX + 1 2123 KachelY 1477 0.11504856 0.78152241 6.591797 44.777936
    Unten links KachelX 2122 KachelY + 1 1478 0.11351458 0.78043294 6.503906 44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 2123 KachelY + 1 1478 0.11504856 0.78043294 6.591797 44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78152241-0.78043294) × R
    0.00108947000000004 × 6371000     		dl = 6941.01337000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78152241-0.78043294) × R
    0.00108947000000004 × 6371000     		dr = 6941.01337000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11504856) × cos(0.78152241) × R
    0.00153397999999999 × 0.709842034951841 × 6371000     		do = 6937.27668150419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11504856) × cos(0.78043294) × R
    0.00153397999999999 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 6944.77215812185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78152241)-sin(0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709842034951841-0.710608993604276)×R²
    abs(0.11504856-0.11351458)×0.000766958652434813×R²
    0.00153397999999999×0.000766958652434813×6371000²
    0.00153397999999999×0.000766958652434813×40589641000000     		ar = 48177748.064781m²