Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21215 / 11232
↖ ↑ ↗
← N 81.531226°
W121.731262°		 ← 44.98 m → N 81.531226°
W121.728516°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
N 81.530821°
W121.731262°		 ← 44.98 m →
2 023 m²		 N 81.530821°
W121.728516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161861419677734 y=0.0856971740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161861419677734 × 217)
    floor (0.161861419677734 × 131072)
    floor (21215.5)     		tx = 21215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0856971740722656 × 217)
    floor (0.0856971740722656 × 131072)
    floor (11232.5)     		ty = 11232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21215 / 11232 ti = "17/21215/11232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21215/11232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21215 ÷ 217
    21215 ÷ 131072     		x = 0.161857604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11232 ÷ 217
    11232 ÷ 131072     		y = 0.085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161857604980469 × 2 - 1) × π
    -0.676284790039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.12461133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085693359375 × 2 - 1) × π
    0.82861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60316539696753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12461133} λ = -2.12461133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60316539696753))-π/2
    2×atan(13.5064236333395)-π/2
    2×1.49689232648992-π/2
    2.99378465297984-1.57079632675     		φ = 1.42298833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12461133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.731262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42298833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.531226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21215 KachelY 11232 -2.12461133 1.42298833 -121.731262 81.531226
    Oben rechts KachelX + 1 21216 KachelY 11232 -2.12456339 1.42298833 -121.728516 81.531226
    Unten links KachelX 21215 KachelY + 1 11233 -2.12461133 1.42298127 -121.731262 81.530821
    Unten rechts KachelX + 1 21216 KachelY + 1 11233 -2.12456339 1.42298127 -121.728516 81.530821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42298833-1.42298127) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42298833-1.42298127) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12461133--2.12456339) × cos(1.42298833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147270385821466 × 6371000     		do = 44.9801665695771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12461133--2.12456339) × cos(1.42298127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147277368837469 × 6371000     		du = 44.9822993624074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42298833)-sin(1.42298127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147270385821466-0.147277368837469)×R²
    abs(-2.12456339--2.12461133)×6.98301600346452e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.98301600346452e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.98301600346452e-06×40589641000000     		ar = 2023.22257261994m²