Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2121 / 2156
↖ ↑ ↗
← S  9.449062°
E  6.416016°		 ← 9 640.39 m → S  9.449062°
E  6.503906°		 →
↑
9 639.20 m
↓
↑
9 639.20 m
↓
S  9.535749°
E  6.416016°		 ← 9 637.95 m →
92 913 833 m²		 S  9.535749°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5179443359375 y=0.5264892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5179443359375 × 212)
    floor (0.5179443359375 × 4096)
    floor (2121.5)     		tx = 2121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5264892578125 × 212)
    floor (0.5264892578125 × 4096)
    floor (2156.5)     		ty = 2156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2121 / 2156 ti = "12/2121/2156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2121/2156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2121 ÷ 212
    2121 ÷ 4096     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2156 ÷ 212
    2156 ÷ 4096     		y = 0.5263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5263671875 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.165669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165669925086914))-π/2
    2×atan(0.847325869049217)-π/2
    2×0.702939543347988-π/2
    1.40587908669598-1.57079632675     		φ = -0.16491724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16491724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.449062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2121 KachelY 2156 0.11198060 -0.16491724 6.416016 -9.449062
    Oben rechts KachelX + 1 2122 KachelY 2156 0.11351458 -0.16491724 6.503906 -9.449062
    Unten links KachelX 2121 KachelY + 1 2157 0.11198060 -0.16643022 6.416016 -9.535749
    Unten rechts KachelX + 1 2122 KachelY + 1 2157 0.11351458 -0.16643022 6.503906 -9.535749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16491724--0.16643022) × R
    0.00151298 × 6371000     		dl = 9639.19557999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16491724--0.16643022) × R
    0.00151298 × 6371000     		dr = 9639.19557999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11351458) × cos(-0.16491724) × R
    0.00153398 × 0.986431945491148 × 6371000     		do = 9640.38616536831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11351458) × cos(-0.16643022) × R
    0.00153398 × 0.98618242958398 × 6371000     		du = 9637.94764975606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16491724)-sin(-0.16643022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986431945491148-0.98618242958398)×R²
    abs(0.11351458-0.11198060)×0.000249515907167819×R²
    0.00153398×0.000249515907167819×6371000²
    0.00153398×0.000249515907167819×40589641000000     		ar = 92913832.7744089m²