Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2121 / 1963
↖ ↑ ↗
← N 79.516660°
W133.395996°		 ← 444.54 m → N 79.516660°
W133.374024°		 →
↑
444.63 m
↓
↑
444.63 m
↓
N 79.512661°
W133.395996°		 ← 444.71 m →
197 695 m²		 N 79.512661°
W133.374024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129486083984375 y=0.119842529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129486083984375 × 214)
    floor (0.129486083984375 × 16384)
    floor (2121.5)     		tx = 2121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119842529296875 × 214)
    floor (0.119842529296875 × 16384)
    floor (1963.5)     		ty = 1963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2121 / 1963 ti = "14/2121/1963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2121/1963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2121 ÷ 214
    2121 ÷ 16384     		x = 0.12945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1963 ÷ 214
    1963 ÷ 16384     		y = 0.11981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.7410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32819934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11981201171875 × 2 - 1) × π
    0.7603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38879158186664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32819934} λ = -2.32819934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38879158186664))-π/2
    2×atan(10.900313844202)-π/2
    2×1.47931192936451-π/2
    2.95862385872903-1.57079632675     		φ = 1.38782753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32819934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38782753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.516660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2121 KachelY 1963 -2.32819934 1.38782753 -133.395996 79.516660
    Oben rechts KachelX + 1 2122 KachelY 1963 -2.32781585 1.38782753 -133.374024 79.516660
    Unten links KachelX 2121 KachelY + 1 1964 -2.32819934 1.38775774 -133.395996 79.512661
    Unten rechts KachelX + 1 2122 KachelY + 1 1964 -2.32781585 1.38775774 -133.374024 79.512661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38782753-1.38775774) × R
    6.97899999999585e-05 × 6371000     		dl = 444.632089999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38782753-1.38775774) × R
    6.97899999999585e-05 × 6371000     		dr = 444.632089999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32819934--2.32781585) × cos(1.38782753) × R
    0.000383489999999931 × 0.181949612176305 × 6371000     		do = 444.541983503833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32819934--2.32781585) × cos(1.38775774) × R
    0.000383489999999931 × 0.182018236788377 × 6371000     		du = 444.709648171005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38782753)-sin(1.38775774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181949612176305-0.182018236788377)×R²
    abs(-2.32781585--2.32819934)×6.86246120715772e-05×R²
    0.000383489999999931×6.86246120715772e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.86246120715772e-05×40589641000000     		ar = 197694.905843986m²