Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2121 / 1478
↖ ↑ ↗
← N 44.715514°
E  6.416016°		 ← 6 944.77 m → N 44.715514°
E  6.503906°		 →
↑
6 948.53 m
↓
↑
6 948.53 m
↓
N 44.653024°
E  6.416016°		 ← 6 952.27 m →
48 282 011 m²		 N 44.653024°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5179443359375 y=0.3609619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5179443359375 × 212)
    floor (0.5179443359375 × 4096)
    floor (2121.5)     		tx = 2121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3609619140625 × 212)
    floor (0.3609619140625 × 4096)
    floor (1478.5)     		ty = 1478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2121 / 1478 ti = "12/2121/1478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2121/1478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2121 ÷ 212
    2121 ÷ 4096     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1478 ÷ 212
    1478 ÷ 4096     		y = 0.36083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.874369049069824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874369049069824))-π/2
    2×atan(2.3973621987636)-π/2
    2×1.17561463406082-π/2
    2.35122926812165-1.57079632675     		φ = 0.78043294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78043294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.715514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2121 KachelY 1478 0.11198060 0.78043294 6.416016 44.715514
    Oben rechts KachelX + 1 2122 KachelY 1478 0.11351458 0.78043294 6.503906 44.715514
    Unten links KachelX 2121 KachelY + 1 1479 0.11198060 0.77934229 6.416016 44.653024
    Unten rechts KachelX + 1 2122 KachelY + 1 1479 0.11351458 0.77934229 6.503906 44.653024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78043294-0.77934229) × R
    0.00109064999999997 × 6371000     		dl = 6948.53114999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78043294-0.77934229) × R
    0.00109064999999997 × 6371000     		dr = 6948.53114999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11351458) × cos(0.78043294) × R
    0.00153398 × 0.710608993604276 × 6371000     		do = 6944.77215812191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11351458) × cos(0.77934229) × R
    0.00153398 × 0.711375938121379 × 6371000     		du = 6952.26749659516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78043294)-sin(0.77934229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710608993604276-0.711375938121379)×R²
    abs(0.11351458-0.11198060)×0.000766944517102908×R²
    0.00153398×0.000766944517102908×6371000²
    0.00153398×0.000766944517102908×40589641000000     		ar = 48282011.2528152m²