Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 212 / 67
↖ ↑ ↗
← N 82.540604°
W105.468750°		 ← 5 075.06 m → N 82.540604°
W105.117187°		 →
↑
5 090.49 m
↓
↑
5 090.49 m
↓
N 82.494824°
W105.468750°		 ← 5 106.03 m →
25 913 400 m²		 N 82.494824°
W105.117187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.20751953125 y=0.06591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.20751953125 × 210)
    floor (0.20751953125 × 1024)
    floor (212.5)     		tx = 212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06591796875 × 210)
    floor (0.06591796875 × 1024)
    floor (67.5)     		ty = 67
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 212 / 67 ti = "10/212/67"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/212/67.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 212 ÷ 210
    212 ÷ 1024     		x = 0.20703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67 ÷ 210
    67 ÷ 1024     		y = 0.0654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20703125 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.84077695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0654296875 × 2 - 1) × π
    0.869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.7304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84077695} λ = -1.84077695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7304858023584))-π/2
    2×atan(15.3403375821864)-π/2
    2×1.50570081502703-π/2
    3.01140163005407-1.57079632675     		φ = 1.44060530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84077695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44060530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.540604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 212 KachelY 67 -1.84077695 1.44060530 -105.468750 82.540604
    Oben rechts KachelX + 1 213 KachelY 67 -1.83464102 1.44060530 -105.117187 82.540604
    Unten links KachelX 212 KachelY + 1 68 -1.84077695 1.43980629 -105.468750 82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 213 KachelY + 1 68 -1.83464102 1.43980629 -105.117187 82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44060530-1.43980629) × R
    0.000799010000000155 × 6371000     		dl = 5090.49271000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44060530-1.43980629) × R
    0.000799010000000155 × 6371000     		dr = 5090.49271000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84077695--1.83464102) × cos(1.44060530) × R
    0.0061359299999999 × 0.129823555143786 × 6371000     		do = 5075.06371981104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84077695--1.83464102) × cos(1.43980629) × R
    0.0061359299999999 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 5106.03266592824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44060530)-sin(1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129823555143786-0.130615761686591)×R²
    abs(-1.83464102--1.84077695)×0.000792206542805818×R²
    0.0061359299999999×0.000792206542805818×6371000²
    0.0061359299999999×0.000792206542805818×40589641000000     		ar = 25913399.8443197m²