Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21194 / 45886
↖ ↑ ↗
← S 58.257508°
W 63.577881°		 ← 321.34 m → S 58.257508°
W 63.572388°		 →
↑
321.35 m
↓
↑
321.35 m
↓
S 58.260398°
W 63.577881°		 ← 321.31 m →
103 258 m²		 S 58.260398°
W 63.572388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323402404785156 y=0.700172424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323402404785156 × 216)
    floor (0.323402404785156 × 65536)
    floor (21194.5)     		tx = 21194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700172424316406 × 216)
    floor (0.700172424316406 × 65536)
    floor (45886.5)     		ty = 45886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21194 / 45886 ti = "16/21194/45886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21194/45886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21194 ÷ 216
    21194 ÷ 65536     		x = 0.323394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45886 ÷ 216
    45886 ÷ 65536     		y = 0.700164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.35321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.10964335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.40032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25767249843179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10964335} λ = -1.10964335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25767249843179))-π/2
    2×atan(0.284315000602017)-π/2
    2×0.277005502689376-π/2
    0.554011005378751-1.57079632675     		φ = -1.01678532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10964335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.577881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01678532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.257508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21194 KachelY 45886 -1.10964335 -1.01678532 -63.577881 -58.257508
    Oben rechts KachelX + 1 21195 KachelY 45886 -1.10954748 -1.01678532 -63.572388 -58.257508
    Unten links KachelX 21194 KachelY + 1 45887 -1.10964335 -1.01683576 -63.577881 -58.260398
    Unten rechts KachelX + 1 21195 KachelY + 1 45887 -1.10954748 -1.01683576 -63.572388 -58.260398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01678532--1.01683576) × R
    5.04399999998739e-05 × 6371000     		dl = 321.353239999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01678532--1.01683576) × R
    5.04399999998739e-05 × 6371000     		dr = 321.353239999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10964335--1.10954748) × cos(-1.01678532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526102496876292 × 6371000     		do = 321.336970858496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10964335--1.10954748) × cos(-1.01683576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526059600963349 × 6371000     		du = 321.310770559487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01678532)-sin(-1.01683576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526102496876292-0.526059600963349)×R²
    abs(-1.10954748--1.10964335)×4.28959129429307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28959129429307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28959129429307e-05×40589641000000     		ar = 103258.466963201m²