Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2119 / 6199
↖ ↑ ↗
← N 40.061257°
W133.439941°		 ← 1 869.93 m → N 40.061257°
W133.417969°		 →
↑
1 870.21 m
↓
↑
1 870.21 m
↓
N 40.044437°
W133.439941°		 ← 1 870.39 m →
3 497 590 m²		 N 40.044437°
W133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129364013671875 y=0.378387451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129364013671875 × 214)
    floor (0.129364013671875 × 16384)
    floor (2119.5)     		tx = 2119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378387451171875 × 214)
    floor (0.378387451171875 × 16384)
    floor (6199.5)     		ty = 6199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2119 / 6199 ti = "14/2119/6199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2119/6199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2119 ÷ 214
    2119 ÷ 16384     		x = 0.12933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6199 ÷ 214
    6199 ÷ 16384     		y = 0.37835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.7413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32896633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37835693359375 × 2 - 1) × π
    0.2432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.764305927542175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32896633} λ = -2.32896633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764305927542175))-π/2
    2×atan(2.14750333435261)-π/2
    2×1.13499857830497-π/2
    2.26999715660994-1.57079632675     		φ = 0.69920083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32896633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.439941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69920083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.061257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2119 KachelY 6199 -2.32896633 0.69920083 -133.439941 40.061257
    Oben rechts KachelX + 1 2120 KachelY 6199 -2.32858284 0.69920083 -133.417969 40.061257
    Unten links KachelX 2119 KachelY + 1 6200 -2.32896633 0.69890728 -133.439941 40.044437
    Unten rechts KachelX + 1 2120 KachelY + 1 6200 -2.32858284 0.69890728 -133.417969 40.044437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69920083-0.69890728) × R
    0.000293549999999976 × 6371000     		dl = 1870.20704999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69920083-0.69890728) × R
    0.000293549999999976 × 6371000     		dr = 1870.20704999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32896633--2.32858284) × cos(0.69920083) × R
    0.000383489999999931 × 0.765356782436901 × 6371000     		do = 1869.93101047631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32896633--2.32858284) × cos(0.69890728) × R
    0.000383489999999931 × 0.765545680070707 × 6371000     		du = 1870.39252796902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69920083)-sin(0.69890728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765356782436901-0.765545680070707)×R²
    abs(-2.32858284--2.32896633)×0.000188897633806473×R²
    0.000383489999999931×0.000188897633806473×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188897633806473×40589641000000     		ar = 3497589.75055588m²