Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2119 / 1474
↖ ↑ ↗
← N 44.964798°
E  6.240235°		 ← 6 914.79 m → N 44.964798°
E  6.328125°		 →
↑
6 918.52 m
↓
↑
6 918.52 m
↓
N 44.902578°
E  6.240235°		 ← 6 922.29 m →
47 866 070 m²		 N 44.902578°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5174560546875 y=0.3599853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5174560546875 × 212)
    floor (0.5174560546875 × 4096)
    floor (2119.5)     		tx = 2119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3599853515625 × 212)
    floor (0.3599853515625 × 4096)
    floor (1474.5)     		ty = 1474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2119 / 1474 ti = "12/2119/1474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2119/1474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2119 ÷ 212
    2119 ÷ 4096     		x = 0.517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1474 ÷ 212
    1474 ÷ 4096     		y = 0.35986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517333984375 × 2 - 1) × π
    0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10891264} λ = 0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880504972221191))-π/2
    2×atan(2.4121174512348)-π/2
    2×1.17779004907765-π/2
    2.3555800981553-1.57079632675     		φ = 0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2119 KachelY 1474 0.10891264 0.78478377 6.240235 44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 2120 KachelY 1474 0.11044662 0.78478377 6.328125 44.964798
    Unten links KachelX 2119 KachelY + 1 1475 0.10891264 0.78369783 6.240235 44.902578
    Unten rechts KachelX + 1 2120 KachelY + 1 1475 0.11044662 0.78369783 6.328125 44.902578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78478377-0.78369783) × R
    0.00108593999999995 × 6371000     		dl = 6918.52373999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78478377-0.78369783) × R
    0.00108593999999995 × 6371000     		dr = 6918.52373999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10891264-0.11044662) × cos(0.78478377) × R
    0.00153397999999999 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 6914.78957187419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10891264-0.11044662) × cos(0.78369783) × R
    0.00153397999999999 × 0.708308075712955 × 6371000     		du = 6922.28531844829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78478377)-sin(0.78369783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.708308075712955)×R²
    abs(0.11044662-0.10891264)×0.00076698627515126×R²
    0.00153397999999999×0.00076698627515126×6371000²
    0.00153397999999999×0.00076698627515126×40589641000000     		ar = 47866070.2643269m²